2012-2013学年山东省淄博市淄川一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=R，集合A={x|x（x+3）＜0}，B={x|x＜-1}，则如图中阴影部分表示的集合为
（ ）

A．{x|-3＜x＜-1}
B．{x|-1≤x＜0}
C．{x|-3＜x＜0}
D．{x|-1＜x＜0}

2. 难度：中等

已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的否命题是（ ）
A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0
B．∀a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0
D．∃a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0

3. 难度：中等

已知两条直线l₁：x+y-1=0，l₂：3x+ay+2=0且l₁⊥l₂，则a=（ ）
A．
B．
C．-3
D．3

4. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₂+a₃=2，a₁₂+a₁₃=3，则a₂₂+a₂₃的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知两条不同直线l₁和l₂及平面α，则直线l₁∥l₂的一个充分条件是（ ）
A．l₁∥α且l₂∥α
B．l₁⊥α且l₂⊥α
C．l₁∥α且l₂⊄α
D．l₁∥α且l₂⊂α

6. 难度：中等

已知函数y=f（x）在（0，1）内的一段图象是如图所示的一段圆弧，若0＜x₁＜x₂＜1，则（ ）

A．＜
B．=
C．＞
D．不能确定

7. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

8. 难度：中等

已知0＜a＜b，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是（ ）
A．log₂a＞0
B．
C．
D．log₂a+log₂b＜-2

9. 难度：中等

若，且a≠1），在定义域R上满足，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．[，1）
C．（0，]
D．（0，]

10. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

11. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象如图①所示，则图②是下列哪个函数的图象（ ）

A．y=-f（|x|）
B．y=f（-|x|）
C．y=-f（-|x|）
D．y=-|f（-x）|

12. 难度：中等

对于非空集合A、B，定义运算A⊕B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B．已知两个开区间M=（a，b），N=（c，d），其中a、b、c、d满足a+b＜c+d，ab=cd＜0，则M⊕N=（ ）
A．（a，b）∪（c，d）
B．（a，c）∪（b，d）
C．（a，d）∪（b，c）
D．（c，a）∪（d，b）

二、填空题

13. 难度：中等

设直线x-my-1=0与圆（x-1）²+（y-2）²=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是    ．

14. 难度：中等

已知O坐标原点，点M（1，-2），点N（x，y），则的最大值为    ．

15. 难度：中等

设曲线y=cosx与x轴、y轴、直线围成的封闭图形的面积为b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知b²=ac，且a²-c²=ac-bc
（1）求∠A的大小；
（2）设且f（x）的最小正周期为π，求的最大值．

18. 难度：中等

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=PB，∠ABC=，∠BCA=，点D、E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角正弦值；
（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．

20. 难度：中等

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

21. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围；
（3）n∈N^*，求证：．