2012-2013学年湖南省衡阳八中高一（上）五科联赛数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．[0，2）
B．[0.1）∪（1，2）
C．（1，2）
D．[0，1）

2. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：

x	1	2	3	4	5	6
f（x）	136.1	15.6	-3.9	10.9	-52.5	-232.1

判断函数的零点个数至少有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

3. 难度：中等

圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．7
B．6
C．5
D．3

4. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3
B．6
C．8
D．10

5. 难度：中等

函数f（x）=a^x+log_a（x+1）在[0，1]上的最大值与最小值的和为a，则a的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4

6. 难度：中等

已知函数f（x）是R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lnx）＞f（1），则x的取值范围是（ ）
A．（e^-1，1）
B．（0，e^-1）∪（1，+∞）
C．（e^-1，e）
D．（0，1）∪（e，+∞）

7. 难度：中等

函数y=f（x）与y=g（x）有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x，有f（x）+f（-x）=0，g（x）g（-x）=1，且x≠0，g（x）≠1，则F（x）=+f（x）（ ）
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数

8. 难度：中等

已知定义在[-2，2]上的函数y=f（x）和y=g（x），其图象如图所示：给出下列四个命题：
①方程f[g（x）]=0有且仅有6个根    ②方程g[f（x）]=0有且仅有3个根
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根    ④方程g[g（x）]=0有且仅有4个根
其中正确命题的序号（ ）

A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④

二、填空题

9. 难度：中等

已知2^x=9，，则x+2y的值=    ．

10. 难度：中等

则f（f（2））的值为    ．

11. 难度：中等

（文）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

以下五个命题中，正确命题的个数是    ．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若a，b，c为空间中不重合的三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
③对于四面体ABCD，任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
④对于四面体ABCD，相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；
⑤各个面都是三角形的几何体是三棱锥．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=alog₂x+blog₃x+2，且，则f（2012）的值为    ．

14. 难度：中等

函数y=2^|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g（a）的图象可以是    ．

15. 难度：中等

已知集合M={m∈Z|x²+mx-36=0有整数解}，非空集合A满足条件：
（1）A⊆M，
（2）若a∈A，则-a∈A，则所有这样的集合A的个数为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数的定义域为集合A，不等式log₂（x-1）≤1的解集为集合B．
（1）求集合A，B；     
（2）求集合A∪B，A∪（∁_RB）．

17. 难度：中等

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
（1）求f（9），f（27）的值；
（2）若f（3）+f（a-8）＜2，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中分离出来的：
（1）试判断A₁是否在平面B₁CD内；（回答是与否）
（2）求异面直线B₁D₁与C₁D所成的角；
（3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．

19. 难度：中等

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．

（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax，x∈[-1，1]
（1）若函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）；
（2）判断并证明函数g（x）的奇偶性；
（3）若函数h（x）=g（x）-x-m有两个零点，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

一般地，如果函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，那么对定义域内的任意x，则f（x）+f（2a-x）=2b恒成立．已知函数的定义域为R，其图象关于点对称．
（1）求常数m的值；
（2）解方程：；
（3）求证：（n∈N⁺）．