2012-2013学年福建省泉州市南安三中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（ ）
A．{0}
B．{0，4}
C．{2，4}
D．{0，2，4}

2. 难度：中等

已知向量=（x，1），=（3，6），∥，则实数x的值为（ ）
A．
B．-2
C．2
D．-

3. 难度：中等

设复数z₁=1+i，z₂=2+bi，若为实数，则实数b=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

4. 难度：中等

如图，将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁（M、N分别为BC、B1C1的中点）截去一个三棱柱AMD-A1ND1，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．既不充分也不必要的条件

6. 难度：中等

下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A．y=1-2sin²π
B．
C．y=sinπxcosπ
D．

7. 难度：中等

设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是（ ）
A．（-3，1）∪（3，+∞）
B．（-3，1）∪（2，+∞）
C．（-1，1）∪（3，+∞）
D．（-∞，-3）∪（1，3）

8. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₂₀=S₄₀，下列结论中一定正确的是（ ）
A．S₃₀是S_n中的最大值
B．S₃₀是S_n中的最小值
C．S₃₀=0
D．S₆₀=0

9. 难度：中等

如图，虚线部分是四个象限的角平分线，实线部分是函数y=f（x）的部分图象，则f（x）可能是（ ）

A．x²cos
B．xcos
C．xsin
D．x²sin

10. 难度：中等

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P₁、P₂、P₃．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（ ）

A．P₃＞P₂＞P₁
B．P₃＞P₂=P₁
C．P₃=P₂＞P₁
D．P₃=P₂=P₁

二、填空题

11. 难度：中等

若，则cosθ=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，=    ．

13. 难度：中等

等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比数列，则数列的前n项和S_n=    ．

14. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

若对于定义在R上的函数f （x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得对任意实数x都有 f （x+λ）+λf （x）=0成立，则称f （x） 是一个“λ-伴随函数”，有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
①f （x）=0 是常数函数中唯一个“λ-伴随函数”；
②f （x）=x²是一个“λ-伴随函数”；
③“-伴随函数”至少有一个零点；
④f（x）=log₂x是一个“λ-伴随函数”
其中正确的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若A、B的坐标分别是，，求cos（β-α）；
（2）若点C，求函数的值域．

17. 难度：中等

从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则另从袋外取一个红球替换该白球放回袋中，继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．
（Ⅰ）求一次摸球后结束试验的概率P₁与两次摸球后结束试验的概率P₂；
（Ⅱ）记结束试验时的摸球次数为ξ，求ξ的分布列及其数学期望Eξ．

18. 难度：中等

一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

19. 难度：中等

如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点．
（1）当点P在DD₁上运动时，是否都有MN∥平面A₁C₁P？证明你的结论；
（2）当点P在何位置时，二面角P-MN-B₁ 为直二面角；
（3）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的4个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前4个记分）

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）如果对于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，总存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

21. 难度：中等

二阶矩阵M对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成点（-1，-1）与（0，-2）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）设直线l在变换M作用下得到了直线m：2x-y=4，求l的方程．

22. 难度：中等

选修4一4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为：（t为参数），以O为原点，ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=4cosθ，
①写出直线l和曲线C的普通方程．  
②若直线l和曲线C相切，求实数k的值．

23. 难度：中等

选修4一5：不等式选讲
设a∈R且，比较与的大小．