2012-2013学年福建省宁德市福鼎三中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁_UA）∪B为（ ）
A．{1，2，4}
B．{2，3，4}
C．{0，2，4}
D．{0，2，3，4}

2. 难度：中等

已知，那么tan x等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

“a＞b＞0”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不允分也不必要条件

4. 难度：中等

若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=-a-b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

如果等差数列{a_n}中，a₃+a₄+a₅=12，那么a₁+a₂+…+a₇=（ ）
A．14
B．21
C．28
D．35

6. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（ ）
A．12
B．11
C．3
D．-1

7. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图，那么f（x）的解析式以及S=f（0）+f（1）+f（2）…+f（2012）的值分别是（ ）

A．，S=2011
B．，S=2013
C．，S=2012
D．，S=2012

8. 难度：中等

在数列{a_n}中，n∈N^*，若（k为常数），则称{a_n}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0   
②等差数列一定是等差比数列
③等比数列一定是等差比数列  
④等差比数列中可以有无数项为0
其中正确的判断是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

9. 难度：中等

一个三角形的直观图是腰长为4的等腰直角三角形，则它的原面积是（ ）
A．8
B．16
C．16
D．32

10. 难度：中等

如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC-A′B′C′的正视图（也称主视图）是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）
A．20π
B．25π
C．50π
D．200π

12. 难度：中等

为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
现在加密密钥为y=log_a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得到明文为（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15

二、填空题

13. 难度：中等

若（1-ai）•i为纯虚数，则实数a的值为    ．

14. 难度：中等

若非零向量，满足||=|+|=1，与夹角为120°，则||=    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤5，则f（-3）的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知f（n）=++…+（n∈N⁺），则f（k+1）-f（k）=    ．

17. 难度：中等

已知，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a等于    ．

18. 难度：中等

已知方程ax²+bx-1=0（a，b∈R且a＞0）有两个实数根，其中一个根在区间（1，2）内，则a-b的取值范围为    ．

19. 难度：中等

若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为    ．

20. 难度：中等

球面上有四个点P、A、B、C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是    ．

21. 难度：中等

若实数a、b满足a+b=2，则3^a+3^b的最小值是     ．

22. 难度：中等

（选做题）已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W=+的最大值为    ．

23. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为    ．

24. 难度：中等

已知命题：若数列{a_n}为等差数列，且a_m=a，a_n=b（m≠n，m、n∈N^*），则a_m+n=；现已知等比数列{b_n}（b_n＞0，n∈N^*），b_m=a，b_n=b（m≠n，m、n∈N^*），若类比上述结论，则可得到b_m+n=    ．

三、解答题

25. 难度：中等

已知函数f（x）=cos²-sin．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（α）=，求sin2α的值．

26. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若．
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ） 若b=2，且，求边长a的取值范围．

27. 难度：中等

.在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又2是a₃与a₅的等比中项．设b_n=5-log₂a_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}的前n项和为S_n，，求T_n．

28. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n、a_n、成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列{C_n}的前项和T_n．

29. 难度：中等

已知f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设，存在x₁，x₂∈（0，e]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜9成立，求a的取值范围．