2012-2013学年四川省成都市树德中学高三（上）12月段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中BC₁与截面BB₁D₁D所成的角是（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

三棱锥A-BCD中，△ABC和△DBC是全等的正三角形，边长为2，且AD=1，则此三棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β；
②若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
③若一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的平面，则这两个二面角的平面角相等或互补；
④过空间中任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面．
其中正确命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

有4名学生，分别插入A、B两班学习，若每班最多只能接收3名学生，且甲不去A班，则不同的分配方法种数为（ ）
A．7
B．8
C．11
D．12

5. 难度：中等

如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为S_n，则S₁₉等于（ ）

A．129
B．172
C．228
D．283

6. 难度：中等

把201212_（3）化为七进制的数为（ ）
A．4631_（7）
B．1640_（7）
C．1364_（7）
D．1346_（7）

7. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V₁，俯视图绕底边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V₂，则V₁：V₂=（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，平行六面体中，侧棱B₁B长为3，底面是边长为1的菱形，∠A₁AB=120°，∠A₁AD=60°，点E在棱B₁B上，则AE+C₁E的最小值为（ ）

A．6
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，给出下列四个命题：
①；       ②在（1+x）ⁿ的展开式中，若只有x⁴的系数最大，则n=7；
③；      ④．
其中正确命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱DD₁，AB上的点．已知下列判断：①A₁C⊥平面B₁EF；②△B₁EF在侧面BCC₁B₁上  的正投影是面积为定值的三角形；③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线；④平 面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

11. 难度：中等

用一个边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢．现将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图所示，输出的n的值分别为（ ）

A．6
B．7
C．8
D．9

二、填空题

13. 难度：中等

阅读如图程序：若输出y=9，则输入的x值是    ．

14. 难度：中等

在四面体ABCD中，AB=AC=AD=DB=5，BC=3，CD=4，则该四面体的体积为    ．

15. 难度：中等

从6名短跑运动员中选出4人参加4×100接力赛，如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方案有    种．

16. 难度：中等

如图，设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q-ABC 内接于同一个球O．若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为 45°，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．
（1）共有多少种放法？
（2）恰有一个盒内不放球，有多少种放法？
（3）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？
（4）恰有两个盒内不放球，有多少种放法？

18. 难度：中等

如图甲，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=，AB=AD=．将（图甲）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图乙）．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BDC；
（Ⅱ）求点B到平面ACD的距离．

19. 难度：中等

将（如图甲）直角梯形ABEF（图中数字表示对应线段的长度）沿直线CD折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图乙所示．
（1）求异面直线BD与EF所成角的大小；
（2）求二面角D-BF-E的大小．
（3）若F、A、B、C、D这五个点在同一个球面上，求该球的表面积．

20. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

21. 难度：中等

设数列{a_n}是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（3）若，用n，x表示A_n．

22. 难度：中等

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
（1）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）设AB=AA₁=2，点C为圆柱OO₁底面圆周上一动点，记三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V．
①求V的最大值；
②记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当V取最大值时，求cosθ的值；
③当V取最大值时，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁内（包括边界）的动点P到直线B₁C₁的距离等于它到直线AC的距离，求动点P到点C距离|PC|的最值．