2012-2013学年北京市海淀区八一中学高三（上）周练数学试卷（3）（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，则A在实数集R中的补集C_RA=（ ）
A．（1，5）
B．（-∞，1]∪（5，+∞）
C．（5，+∞）
D．（1，5]

2. 难度：中等

等于（ ）
A．e²
B．e²-1
C．e+1
D．e-1

3. 难度：中等

已知f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

曲线y=x³-x的所有切线中，经过点（1，0）的切线的条数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

设函数f（x）=x³+3bx²+3（b²-1）x+3c有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈（-1，2），x₂∈（2，+∞），则实数b的取值范围是（ ）
A．（-3，-1）
B．（-3，0）
C．（-3，-2）
D．（-2，-1）

7. 难度：中等

设直线x=t与函数f（x）=x²，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A．（1，10）
B．（5，6）
C．（10，12）
D．（20，24）

9. 难度：中等

给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意x∈R，都有f（a+x）=f（a-x）（a是常数），那么函数f（x）必是偶函数；
②如果函数f（x）对任意x∈R，都有f（2+x）=-f（x），那么函数f（x）是周期函数；
③如果函数f（x）对任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有，那么函数f（x）在R上是增函数；
④函数y=f（x）和函数y=f（x-1）+2的图象一定不会重合．
其中真命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．①②③
D．②③④

二、填空题

10. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₇=3，a₂+a₁₄=8，则a₁₀=    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=x²-2x与x轴围成的曲边梯形的面积等于    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=x³-3x²+1的极小值点为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-2x+a有零点，则a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图（1）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y与乘客量x之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（2）（3）所示．
给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价；②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变；③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-cosx，对于[-，]上的任意x₁，x₂，有如下条件：
①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是     ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}中，a₁=2，，，n∈N^*，则b₃=    ；若b_k不超过257，则最大的正整数k=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=e^-x+ax，
（Ⅰ）已知x=-1是函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若a=1，求函数f（x）的极值；
（ III）求证：函数f（x）的图象不落在直线y=（a-1）x的下方．

19. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值．