2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合U={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则（∁_UA）∪B=（ ）
A．{1}
B．{2，4}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，4}

2. 难度：中等

若复数Z₁=i，Z₂=3-i，则=（ ）
A．1+3i
B．2+i
C．-1-3i
D．3+i

3. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则=（ ）
A．（2，4）
B．（1，1）
C．（-1，-1）
D．（-2，-4）

4. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）
A．y=-lnx．
B．y=x²
C．y=2^-|x|
D．y=cosx．

5. 难度：中等

设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β

6. 难度：中等

执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）

A．
B．4
C．2
D．

8. 难度：中等

在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k丨n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：
①2011∈[1]；
②-3∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

9. 难度：中等

不等式x²-5x+6≤0的解集为    ．

10. 难度：中等

直线x+y=0被圆x²+4x+y²=0截得的弦长为    ．

11. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，则a=    ；若点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=，a₄=-4，则公比q=    ；|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，若，则c=    ．

14. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（，]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（，]上是增函数；
则其中真命题是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

16. 难度：中等

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（1）求证：BC∥平面A₁DE；
（2）求证：BC⊥平面A₁DC；
（3）当D点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值．

17. 难度：中等

一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；
（Ⅱ）若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（3）若函数y=f（x）有零点，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

20. 难度：中等

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”，（n∈N^﹡）．
（1）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x，（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c_n}的首项为2010，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8040，证明{c_n}是“三角形”数列；
（3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项．
[理科]根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．