2012-2013学年江苏省南通市苏东高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知向量=（1，1）与向量=（x，2-2x）垂直，则x=    ．

2. 难度：中等

满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是    ．

3. 难度：中等

已知函数y=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是     ．

5. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅若存在两项a_m、a_n使得，则的最小值为    ．

6. 难度：中等

已知命题：“∃x∈[1，2]，使x²+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是    ．

7. 难度：中等

已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n
其中不正确的命题的个数是    ．

8. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）＞0，对任意正数a、b，若a＜b，则af（a），bf（b）的大小关系为    ．

9. 难度：中等

设0＜x＜，则“xsin²x＜1”是“xsinx＜1”的    ．

10. 难度：中等

若正六棱锥的底面边长为3cm，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是    cm．

11. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式是，若对于n∈N⁺，都有a_n+1＞a_n成立，则实数k的取值范围是    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=x•2^x+x，A为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量，i=（1，0），设θ_n为a_n与i的夹角，则=    ．

14. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和是S_n，若数列{a_n}的各项按如下规则排列：，…，若存在整数k，使S_k＜10，S_k+1≥10，则a_k=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=-+（x＞0）．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BC；
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：MN∥平面ADE．

17. 难度：中等

已知向量=（sina，cosa），=（6sina+cosa，7sina-2cosa），设函数f（a）=•．
（1）求函数f（a）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．

18. 难度：中等

如图是一块长方形区域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α（0≤α≤），探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG=，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．

19. 难度：中等

已知函数
（1）求f（x）在[，2]上的最大值和最小值；（参考数据：ln2≈0.7）
（2）求证：ln；
（3）求证：对大于1的任意正整数n，都有 lnn+++…+．

20. 难度：中等

设函数f（x）=（x＞0），数列{a_n}满足（n∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的数列，k∈N^*，使得数列中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．