2012-2013学年江苏省常州市武进区教育学会高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²＜4，x∈R}，N={x|xlnx＞0}，则集合M∩N=    ．

2. 难度：中等

已知向量，则向量与的夹角为    ．

3. 难度：中等

设直线l是曲线上的一条切线，则切线l斜率最小时对应的倾斜角为    ．

4. 难度：中等

y=sin²x+2sinxcosx的周期是    ．

5. 难度：中等

公比为2的等比数列{a_n}的各项都是正数，且a₄a₁₀=16，则a₁₀=    ．

6. 难度：中等

若实数x满足log₂x+cosθ=2，则|x-8|+|x+2|=    ．

7. 难度：中等

已知向量满足，．若与垂直，则k=    ．

8. 难度：中等

一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为2cm，那么该棱柱的表面积为    cm²．

9. 难度：中等

等差数列{a_n}中，已知a₂≤7，a₆≥9，则a₁₀的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足，则函数y=f（x）的表达式为    ．

11. 难度：中等

已知f（x）=log₃（x-3），若实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，则m+n的最小值为    ．

12. 难度：中等

过点C（2，5）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r₁，r₂，则r₁+r₂=    ．

13. 难度：中等

给出以下命题：
（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；
（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；
（3）函数与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；
（4）函数y=f（2x-1）的图象可以由函数y=f（2x）的图象按向量平移得到．
则其中正确命题的序号是    （把所有正确的命题序号都填上）．

14. 难度：中等

数列{a_n}满足，则{a_n}的前40项和为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若，试求的值．

16. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，，P、Q分别是CD₁和A₁A的中点，
求证：
（1）PQ∥面ABCD；
（2）面DPQ⊥面BB₁D₁D．

17. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．

18. 难度：中等

已知曲线C：x²+y²-2ax-2（a-1）y-1+2a=0．
（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；
（2）当a≠1时，若曲线C与直线y=2x-1相切，求a的值；
（3）对所有的a∈R且a≠1，是否存在直线l与曲线C总相切？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若恒成立，求k的取值范围；
（3）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（2^m，2^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和S_m．

20. 难度：中等

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是奇函数，且当时，f（x）取得极小值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数n的值；
（3）设g（x）=|f（x）+（3t-1）x|，（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）．