2012-2013学年福建省厦门六中高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数的实部与虚部之和为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2i

2. 难度：中等

若如图的程序框图输出的y=4，可输入的x的值的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇则b₆b₈=（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

4. 难度：中等

已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列结论中正确命题的个数是
①命题p：“∃x∈R，x²-2≥0”的否定形式为¬p：“∀x∈R，x²-2＜0；
②若¬p是q的必要条件，则p是¬q的充分条件；
③“M＞N”是“”的充分不必要条件（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）
①若l⊥α，则l与α相交
②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n．
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

8. 难度：中等

（文）若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为（ ）
A．1
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知空间直角坐标系中，O为原点，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）则经过O、A、B、C四点的球的体积为（ ）
A．50π
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=2，则a的值为    ．

12. 难度：中等

已知x、y满足，则z=的取值范围是    ．

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

正四棱锥形S-ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，D在BC边上，AD⊥AB，，，则=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD的夹角为30°．
（1）求平面PCE与平面CED夹角的大小；
（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．

19. 难度：中等

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
（1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

20. 难度：中等

已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且，．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且，求直线l的斜率k的取值范围．

21. 难度：中等

（1）已知矩阵，向量，
（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A²α=β．
（2）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极坐标分别为（1，0）、，曲线C的参数方程为为参数，r＞0）
（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，求r的值．
（3）设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．