2012-2013学年湖南省株洲市攸县二中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|x²-x-6≤0}，B={x|x＜-1或x＞4}，则集合A∩B等于（ ）
A．{x|x≤3或x＞4}
B．{x|-2≤x＜-1}
C．{x|3≤x＜4}
D．{x|-1＜x≤3}

2. 难度：中等

函数的零点个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

3. 难度：中等

设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有（ ）
A．
B．∥
C．
D．

4. 难度：中等

设函数，x∈R，则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是（ ）
A．a₁₁
B．a₁₀
C．a₉
D．a₈

6. 难度：中等

函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（-1，1）
B．（-1，+∞）
C．（-∞，-l）
D．（-∞，+∞）

7. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ax²+bx+c，若x满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
A．∃x∈R，f（x）≤f（x）
B．∃x∈R，f（x）≥f（x）
C．∀x∈R，f（x）≤f（x）
D．∀x∈R，f（x）≥f（x）

8. 难度：中等

设min{x₁，x₂，…，x_n}表示x₁，x₂，…，x_n中最小的一个．给出下列命题：
①min{x²，x-1}=x-1；         
 ②设a、b∈R⁺，有≤；
③设a、b∈R，a≠0，|a|≠|b|，有．
其中所有正确命题的序号有（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

二、填空题

9. 难度：中等

已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为psinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为    ．

10. 难度：中等

AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC长为    ．

11. 难度：中等

设复数z满足i（z+1）=-3+2i（i为虚数单位），则z的实部是    ．

12. 难度：中等

设，且的夹角为钝角，则x的取值范围是    ．

13. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，则f（2010）=    ．

14. 难度：中等

在实数集上定义运算*，规定：当a≥b时，a*b=b³，而当a＜b时a*b=a²．那么这一运算之下，方程（1-2x）*x=27的解集是    ．

15. 难度：中等

给出下列命题：①若{a_n}成等比数列，S_n是前n项和，则S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈成等比数列；②已知函数y=2sin（ωx+θ）为偶函数（0＜θ＜π），其图象与直线y=2的交点的横坐标为x₁、x₂，若|x₁-x₂|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为；③正弦函数在第一象限为单调递增函数；④函数y=2sin（2x-）的图象的一个对称点是（，0）；其中正确命题的序号是    ．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，向量 =（2cosB，1），=（2cos²（+），-1+sin2B），且满足|+|=|-|．
（Ⅰ）求角B的大小．
（Ⅱ）求sin²A+sin²C的取值范围．

17. 难度：中等

等差数列{a_n}中，2a₁+3a₂=11，2a₃=a₂+a₆-4，其前n项和为s_n
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若数列{b_n}满足 b_n=，其前n项和为T_n，求证T_n＜．

18. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁=AB=2a，D、E分别为CC₁、A₁B的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AE⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥D-A₁BA的体积．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加
的比例x应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+x）-ax在x=-处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N^*）；
（Ⅲ）设g（x）=b（e^x-x），若f（x）≤g（x）恒成立，求实数b的取值范围．