2012-2013学年甘肃省兰州一中高二（上）期末数学试卷（文理合卷）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

2. 难度：中等

（理）已知向量=（3，5，-1），=（2，2，3），=（4，-1，-3），则向量的坐标为（ ）
A．（16，0，-23）
B．（28，0，-23）
C．（16，-4，-1）
D．（0，0，9）

3. 难度：中等

曲线y=4x-x²上两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（ ）
A．（1，3）
B．（3，3）
C．（6，-12）
D．（2，4）

4. 难度：中等

过点（0，1）作直线，使它与抛物线y²=4x仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条

5. 难度：中等

已知双曲线=1的离心率为2，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．2
B．4
C．2
D．4

6. 难度：中等

在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ=2cosθ，则下列各点在圆C上的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x变为曲线y′=2sinx′的伸缩变换是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（2，-7）
D．（1，0）

9. 难度：中等

极坐标方程ρ=2sinθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别为（ ）
A．圆，圆
B．圆，直线
C．直线，直线
D．直线，圆

10. 难度：中等

若向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（ ）
A．2
B．-2
C．-2或
D．2或-

11. 难度：中等

曲线在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=x+1
D．y=-x+1

12. 难度：中等

（理）已知点P₁的球坐标是P₁（4，，），P₂的柱坐标是P₂（2，，1），则|P₁P₂|=（ ）
A．
B．
C．
D．

13. 难度：中等

若曲线f（x）=x⁴-x在点P处的切线垂直于直线x+3y=0，则点P坐标为（ ）
A．（1，3）
B．（1，0）
C．（-1，3）
D．（-1，0）

14. 难度：中等

过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A．
B．
C．（2，+∞）
D．（1，2）

15. 难度：中等

从抛物线y²=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．15

二、填空题

16. 难度：中等

（理）已知空间四边形ABCD中，G是CD的中点，则=    ．

17. 难度：中等

（文）抛物线y=x²+bx+c在点（1，2）处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是    ．

18. 难度：中等

在极坐标系中，设P是直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4上任一点，Q是圆C：ρ²=4ρcosθ-3上任一点，则|PQ|的最小值是    ．

19. 难度：中等

（理）与A（-1，2，3），B（0，0，5）两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件为    ．

20. 难度：中等

（文）函数f（x）=ax³-x在R上为减函数，则实数a的取值范围是    ．

21. 难度：中等

如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为    ．

三、解答题

22. 难度：中等

双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点（，4），求其方程．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程，求直线l被曲线C所截的弦长．

24. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

25. 难度：中等

（文）已知函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若f（x）在（2，3）上单调，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）在（2，3）上不单调，求实数a的取值范围．

26. 难度：中等

（理）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．
（1）求EF的长；
（2）证明：EF⊥PC．