2012-2013学年河南省洛阳市偃师高中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x＜3，或x＞4}，B={x|x＜2}，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．（4，+∞）
B．（-∞，3）
C．（-∞，2）
D．（2，3）

2. 难度：中等

复数，则=（ ）
A．i
B．-i
C．1+i
D．1-i

3. 难度：中等

等差数列{a_n}中，2（a₁+a₄+a₇）+3（a₉+a₁₁）=24，则其前13项和为（ ）
A．13
B．26
C．52
D．156

4. 难度：中等

已知命题p₁：∃x∈R，使得x²+x+1＜0；p₂：∀x∈[1，2]，使得x²-1≥0．以下命题是真命题的为（ ）
A．¬p₁∧¬p₂
B．p₁∨¬p₂
C．¬p₁∧p₂
D．p₁∧p₂

5. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ）为常数，A＞0，ω＞0的部分图象如图所示，则f（0）的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．-

6. 难度：中等

已知平面向量、，||=1，||=，且|2|=，则向量与向量的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．π

7. 难度：中等

图示是计算1+++…+值的程序框图，则图中（1）处应填写的语句是（ ）

A．i≤15i
B．i＞15？
C．i＞16？
D．i≤16？

8. 难度：中等

已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（0，2]

9. 难度：中等

4个家庭到某景点旅游，该景点有4条路线可供游览，其中恰有1条路线没有被这4个家庭中的任何1个游览的情况有（ ）
A．81
B．36
C．72
D．144

10. 难度：中等

设偶函数f（x）满足：x≥0时f（x）=2^x-4，则不等式x•f（x-2）＞0的解集是（ ）
A．{x|x＞4}
B．{x|x＜-2}
C．{x|0＜x＜4}
D．{x|-2＜x＜0}

11. 难度：中等

已知点P在曲线C₁：上，点Q在曲线C₂：（x-5）²+y²=1上，点R在曲线C₃：（x+5）²+y²=1上，则|PQ|-|PR|的最大值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

12. 难度：中等

给出以下4个命题，
①若1＜x＜，则（x-1）tanx＞0；    
②∀x∈（0，+∞），＞；
③若随机变量X～N（3，σ²），且P（X≤5）=0.84，则P（X＜1）=0.16；
④在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若acosA=bcosB，则△ABC为等腰直角三角形．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=ax（a＞0）与直线x=1围成的封闭图形的面积为，若直线l与该抛物线相切，且平行于直线2x-y+6=0，则直线l的方程为    ．

15. 难度：中等

设实数x，y满足条件，则的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，，且∥．设函数y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式．
（2）若在锐角△ABC中，，边，求△ABC周长的最大值．

18. 难度：中等

某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（1）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；
（2）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
（3）若该校决定在第4，5 组中随机抽取2名学生接受考官A的面试，第5组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE．
（Ⅰ） 求证：AB⊥平面ADE；
（Ⅱ）设M是线段BE上一点，当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为时，试确定点M的位置．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x-xlna，（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）取a=e，若时，函数g（x）=f（x）-mx有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

点P为圆O；x²+y²=4上一动点，PD⊥x轴于D点，记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）直线l经过定点（0，2）与曲线C交于A、B两点，求△OAB面积的最大值．

22. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

23. 难度：中等

以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）+，曲线C₁的参数方程为（α为参数）．
（Ⅰ）若把曲线C₁上每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，再把得到的图象向右平移一个单位，得到曲线C₂，求曲线C₂的普通方程；
（Ⅱ）在第（1）问的条件下，若直线l与曲线C₂相交于M，N两点，求M，N两点间的距离．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1）．
（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．