2012-2013学年山西省忻州市高三（上）第一次联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|-2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（ ）
A．{x|-1＜x＜1}
B．{x|-2＜x＜1}
C．{x|-2＜x＜2}
D．{x|0＜x＜1}

2. 难度：中等

设a，b为实数，若复数，则（ ）
A．
B．a=3，b=1
C．
D．a=1，b=3

3. 难度：中等

设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；
②若m⊂β，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；
③若m⊂α，m∥n，则n∥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为（ ）
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①③④

4. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程是y=1，则a的值为（ ）
A．
B．
C．4
D．-4

5. 难度：中等

若点P（x，y）在以A（-3，1），B（-1，0），C（-2，0）为顶点的△ABC的内部运动（不包含边界），则的取值范围（ ）
A．[，1]
B．（，1）
C．[，1]
D．（，1）

6. 难度：中等

已知sinθ=，sinθ-cosθ＞1，则sin2θ=（ ）
A．-
B．-
C．-
D．

7. 难度：中等

已知非零向量、，若+2与-2互相垂直，则等于（ ）
A．
B．2
C．
D．4

8. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x²+x-m=0无实数根，则m≤0”
B．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x²+x+1≥0

9. 难度：中等

若直线ax+2by-2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²-4x-2y-8=0的周长，则+的最小值为（ ）
A．1
B．3+2
C．5
D．

10. 难度：中等

执行程序框图，若p=4，则输出的S=（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）+k的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

给出定义：若m-＜x≤m+（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-，]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-，]上是增函数；
则其中真命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

一个空间几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为    cm³．

14. 难度：中等

某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是   

15. 难度：中等

已知函数f （x）=lnx-，则f′（3）=    ．

16. 难度：中等

某老师在校阅试题时发现一个题目：“从60°角的顶点开始，在一边上截取9厘米的线段，在另一边截取a厘米的线段，求所得两个端点之间的距离．”其中a厘米在排版时比原稿上多了1．虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍符合，则a=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，且a₅=9，S₃=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若数列{}的前n项和为T_n，求2T_n≥的最小正整数n的值．

18. 难度：中等

甲､乙两名运动员在一次射击预选赛中，分别射击了4次，成绩如下表（单位：环）：

甲	6	7	9	10
乙	6	8	8	10

（Ⅰ）从甲､乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛，你认为选派哪位运动员参加比较合适？请说明理由．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D₁、D分别是棱B₁C₁、BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面CA₁D₁；
（Ⅲ）求多面体A₁B₁D₁-CAD的体积．

20. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，），离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线x+y+1=0与椭圆E相交于A、B（B在A上方）两点，问是否存在直线l，使l与椭圆相交于C、D（C在D上方）两点且ABCD为平行四边形，若存在，求直线l的方程与平行四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f （x）=-ax³+x²+（a-1）x-（x＞0），（a∈R）．
（Ⅰ）当0＜a＜时，讨论f （x）的单调性；
（Ⅱ）若f （x）在区间（a，a+1）上不具有单调性，求正实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知C、F是以AB为直径的半圆O上的两点，且CF=CB，过C作CD⊥AF交AF的延长线与点D．
（Ⅰ）证明：CD为圆O的切线；
（Ⅱ）若AD=3，AB=4，求AC的长．

23. 难度：中等

在极坐标系中，已知两点O（0，0），B（2，）．
（1）求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角方程；
（2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求△MNC的面积．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|+|x+2|（a为常数，且a∈R）．
（I）若函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（II）当a=2时，解不等式f（x）≤6．