2012-2013学年安徽省宿州市灵璧中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于空间任意一点O和不共线三点A，B，C，点P满足是点P，A，B，C共面的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

已知，则与的夹角等于（ ）
A．90°
B．30°
C．60°
D．150°

3. 难度：中等

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

4. 难度：中等

已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为（ ）
①
②M∪N∪P=[0，π]
③
④．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

5. 难度：中等

若点A（λ²+4，4-μ，1+2γ）关于y轴的对称点是B（-4λ，9，7-γ），则λ，μ，γ的值依次为（ ）
A．1，-4，9
B．2，-5，-8
C．-3，-5，8
D．2，5，8

6. 难度：中等

下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价
C．“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a²+b²≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

7. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角后不会成立的结论是（ ）
A．AC⊥BD
B．△ADC为等边三角形
C．AB、CD所成角为60°
D．AB与平面BCD所成角为60°

9. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁ C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上一点，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．（1，3）

二、填空题

11. 难度：中等

空间两点P₁（3，-2，5），P₂（6，0，-1）间的距离为|P₁P₂|=    ．

12. 难度：中等

若∃x∈[2，3]，使得x²-x+3+m＞0成立，则m的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知空间三点O（0，0，0），A（-1，1，0），B（0，1，1），若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为    ．

14. 难度：中等

命题“若x≠1或x≠2，则x²-3x+2≠0”是    命题．（填“真”或“假”）

15. 难度：中等

已知，则的最小值是    ．

16. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1．若二面角C-AB-C₁的大小为60°，则点C到平面ABC₁的距离为    ．

17. 难度：中等

设直线a，b的方向向量是e₁，e₂，平面α的法向量是n，给出下列推理：
①  ②
③  ④
其中，正确的推理序号是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知命题p：“∀x∈[1，2]，x²-ln x-a≥0”与命题q：“∃x∈R，x²+2ax-8-6a=0”都是真命题，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知，
（1）若，求x的值；     
（2）若，求x的值．

20. 难度：中等

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点M、N分别为侧棱PD、PC的中点
（1）求证：CD∥平面AMN；
（2）求证：AM⊥平面PCD．

21. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，．
（Ⅰ）当a=1时，求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值．

22. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证OD∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线OD与平面PBC所成角的大小．

23. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

24. 难度：中等

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M为棱CC₁上一点．
（1）若，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在这样的点M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的长；若不存在，请说明理由．

25. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

26. 难度：中等

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

27. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，
（1）问AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面CD₁E夹角的余弦值．

28. 难度：中等

如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，，且O为AB中点．
（ I ） 求证：BC∥平面POD；
（ II ） 求证：AC⊥PD．