2012-2013学年河南省洛阳市偃师高中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，设A={1，2}，B=（0，2），则集合A*B的真子集个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数z=对应复平面上的点P位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，|sinx|≤1，则￢p是（ ）
A．∃x∈R，|sinx|≥1
B．∀x∈R，|sinx|≥1
C．∃x∈R，|sinx|＞1
D．∀x∈R，|sinx|＞1

4. 难度：中等

如图给出的是的一个程序框图，则其输出的结果是（ ）

A．2¹⁹-1
B．2²⁰-1
C．2²¹-1
D．2²²-1

5. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为1，S₂₀₀₇=0，则S₂₀₀₉的值是（ ）
A．0
B．2
C．2008
D．2009

6. 难度：中等

已知，则sin2α=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

a、b是两条异面直线，则“a⊥b”是“存在经过a且与b垂直的平面”（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

某中学高一年级有350人，高二年级有280人，用分层抽样法从高中三个年级抽选学生代表，已知从高三年级抽取了7人，从高一年级抽取的人数比从高二年级抽取的人数多2人，则该校高中的学生总数是（ ）
A．945
B．910
C．900
D．875

9. 难度：中等

把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记录第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b、设向量，则向量的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，设，，则a，b，c，的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a

11. 难度：中等

设平面内有△ABC及点O，若满足关系式：，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形

12. 难度：中等

过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x，则f（-3）=    ．

14. 难度：中等

如图，是一个几何体的三视图，其中主视图是两直角边长分别为1，2的直角三角形，俯视图为边长分别为1，2的矩形，左视图为直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的面体的体积为    ．

15. 难度：中等

如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的三角形恰有一个，那么k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立．如果实数m，n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n²的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知，将f （x）的图象向左平移，再向上平移2个长度单位后，图象关于直线对称．
（1）求实数a的值，并求f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：

分 组	频 数	频 率
[40，50 ）	2	0.04
[50，60 ）	3	0.06
[60，70 ）	14	0.28
[70，80 ）	15	0.30
[80，90 ）
[90，100]	4	0.08
合 计

（Ⅰ）将上面的频率分布表补充完整，并估计本次考试全校85分以上学生的比例；
（Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为[90，100]中任选出两位同学，共同帮助成绩在[40，50）中的某一个同学，试列出所有基本事件；若A₁同学成绩为43分，B₁同学成绩为95分，求A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．

19. 难度：中等

如图棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）设AB=a，∠BAC=30°，四边形AA₁C₁C的面积为3a2，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积、

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，HB=2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；
（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为，求实数a的值．

24. 难度：中等

[文]已知不等式x²+px+1＞2x+p．
（1）如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的范围；
（2）如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的范围．