2012-2013学年河南省郑州市高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知数列，那么是该数列的第几项（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

2. 难度：中等

若直线l₁、l₂的方向向量分别为，若l₁⊥l₂，则λ=（ ）
A．-4
B．4
C．-6
D．6

3. 难度：中等

双曲线8kx²-ky²=8的一个焦点是（0，3），那么k的值是（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

4. 难度：中等

已知a∈R，则“a＜2”是“a²＜2a”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（ ）
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．30°或120°

6. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄=8，S₈=20，则a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=（ ）
A．18
B．17
C．16
D．15

7. 难度：中等

抛物线y²=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则P的坐标是（ ）
A．（±4，2）
B．（2，±4）
C．
D．

8. 难度：中等

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为1的正方形AA₁=2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°，则线段AC₁的长为（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±4
B．
C．y=±2
D．

10. 难度：中等

设x，y满足约束条若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值1，则+的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

11. 难度：中等

如图，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

方程2x²-3x+1=0两根的等比中项是    ．

14. 难度：中等

已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为3 km，则B到C的距离为    km．

15. 难度：中等

斜率为1的直l与椭圆相交于A，B两点，则||的最大值为    ．

16. 难度：中等

若“∀x∈[2，+∞），x²-ax+2≥0”，则实数a的取值范围为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知命题p：函数f（x）=（m-2）^x为增函数，命题q：“”，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n}的通项公式b_n=2n-1，记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

20. 难度：中等

某人上午7时，乘摩托艇以匀速v n mile/h（4≤v≤20）从A港出发到距50 n mile的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h（30≤w≤100）自B港向距300 km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘汽车、摩托艇去所需要的时间分别是x h、y h．
（1）作图表示满足上述条件的x、y范围；
（2）如果已知所需的经费p=100+3×（5-x）+2×（8-y）（元），那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

21. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁CC₁⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC的中点，E为BC₁的中点
（1）求证：OE∥平面A₁AB；
（2）求二面角A-A₁B-C₁的正弦值．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，0）、B（1，0），动点C满足条件：△ABC的周长为．记动点C的轨迹为曲线W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）经过点（0，）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；
（Ⅲ）已知点M（），N（0，1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．