2012-2013学年江西省赣州市上犹中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若直线 3x+y+a=0过圆x²+y²+2x-4y=0的圆心，则a的值为（ ）
A．-1
B．1
C．3
D．-3

2. 难度：中等

“f（x，y）=0”是“点P（x，y）在曲线f（x，y）=0上”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

下列4个命题中：
（1）存在x∈（0，+∞）使不等式2^x＜3^x成立
（2）不存在x∈（0，1）使不等式log₂x＜log₃x成立
（3）任意的x∈（0，+∞），使不等式log₂x＜2^x成立
（4）任意的x∈（0，+∞），使不等式log₂x＜成立
真命题的是（ ）
A．（1）、（3）
B．（1）、（4）
C．（2）、（3）
D．（2）、（4）

4. 难度：中等

在如图所示的正方体A₁B₁C₁D₁ABCD中，E是C₁D₁的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（ ）

A．-
B．-
C．
D．

5. 难度：中等

直线y=kx-k+1与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定

6. 难度：中等

如果命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上”不正确，那么以下命题正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都满足方程f（x，y）=0
B．坐标满足方程f（x，y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
C．坐标满足方程f（x，y）=0的点都不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f（x，y）=0．

7. 难度：中等

若执行如图所示的框图，输入x₁=1，x₂=2，x₃=3，=2，则输出的数等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

椭圆的焦点到相应准线的距离为a，则椭圆的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a₄₂=8，a₅₄=15．若a_ij=2011，则i与j的和为（ ）

A．106
B．107
C．108
D．109

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=x²+bx+c（x∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是    ．

12. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CC₁=2CB，∠ACB=90°，则直线BC₁与直线AB₁夹角的余弦值为    ．

13. 难度：中等

若f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=1，则=    ．

14. 难度：中等

若曲线C₁：x²+y²-2x=0与曲线C₂：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a²（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积不大于a²．
其中，所有正确结论的序号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．

18. 难度：中等

小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐．试计算：事件“晚报在晚餐之前被送到”的概率．

19. 难度：中等

如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x²=4y相切于点A．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

20. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值；
（3）求点O到平面ABM的距离．

21. 难度：中等

已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．