2012-2013学年福建省宁德市柘荣一中高三（上）第一次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数²（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A．±1
B．-1
C．0
D．1

2. 难度：中等

已知集合P={x||x-2|≤1，x∈R}，Q={x|x∈N}，则P∩Q等于（ ）
A．[1，3]
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}

3. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时，则f（3）=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．1或0

4. 难度：中等

在△ABC中，若B、C的对边边长分别为b、c，B=45°，c=2，b=，则C等于（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．60°或120°

5. 难度：中等

已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

6. 难度：中等

已知A、B是两个不同的点，m、n是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则①m⊂α，A∈m⇒A∈α；②m∩n=A，A∈α，B∈m⇒B∈α；③m⊂α，m⊥β⇒α⊥β；④m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β．其中真命题为（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

7. 难度：中等

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在函数y=|x|（x∈[-1，1]）的图象上有一点P（t，|t|），此函数与x轴、直线x=-1及x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

己知双曲线的方程为x²-=1，直线m的方程为x=，过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线的右支相交于P、Q，以PQ为直径的圆与直线m相交于M、N，记劣弧的长度为n，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线：①x²-y²=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x²-|x|；④|x|+1=，存在自公切线的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

二、填空题

11. 难度：中等

求函数y=|x-2|+|3-x|在R上的最小值为    ．

12. 难度：中等

在二项式的展开式中，x²的系数是    ．

13. 难度：中等

若等比数列{a_n}的首项为，且a₄=∫₁⁴（1+2x）dx，则公比等于     ．

14. 难度：中等

运行如图的程序框图，当输入m=-4时的输出结果为n，若变量x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为    ．

15. 难度：中等

如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{a_n}（n∈N^*）的前12项，如下表所示：

a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7	a8	a9	a10	a11	a12
x1	y1	x2	y2	x3	y3	x4	y4	x5	y5	x6	y6

按如此规律下去，则a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同．
（1）若抽取后又放回，抽3次，分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率；
（2）若抽取后不放回，抽完红球所需次数为ξ，求ξ的分布列及期望．

17. 难度：中等

设函数的最大值为M，最小正周期为T．
（Ⅰ）求M、T；
（Ⅱ）若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），求x₁+x₂+…+x₁₀的值．

18. 难度：中等

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求二面角C-DF-E的余弦值．

19. 难度：中等

一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+x-3，g（x）=-x+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）
（1）当a=1时，求函数h（x）的极值；
（2）若函数h（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）定义：对于函数F（x）和G（x），若存在直线ℓ：y=kx+b，使得对于函数F（x）和G（x）各自定义域内的任意x，都有F（x）≥kx+b且G（x）≤kx+b成立，则称直线ℓ：y=kx+b为函数F（x）和G（x）的“隔离直线”．则当a=1时，函数f（x）和g（x）是否存在“隔离直线”．若存在，求出所有的“隔离直线”；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

（1）已知直线（t为参数），（θ为参数）．
（Ⅰ）当时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（2）已知正实数a、b、c满足a²+4b²+c²=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求实数x的取值范围．