2012-2013学年江苏省盐城市东台中学高三（上）段考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2，3}，B={0，2，3}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知a是实数，是纯虚数，则a=    ．

3. 难度：中等

如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差s²=    ． （参考公式：）

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₄=8，S₈=20，则a₁₁+a₁₂+a₁₃+a₁₄=    ．

5. 难度：中等

已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l₁：x-2y-1=0，l₂：ax+by-1=0，则直线l₁⊥l₂的概率为    ．

6. 难度：中等

已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β．下列命题中，其中正确命题的序号是    ．
①若α∥β，则m⊥l；       ②若α⊥β，则m∥l；
③若m⊥l，则α∥β；       ④若m∥l，则α⊥β．

7. 难度：中等

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＜0）的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为    ．

8. 难度：中等

已知p：x²-4x-5＞0，q：x²-2x+1-m²＞0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为    ．

9. 难度：中等

已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则=    ．

10. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是    ．

11. 难度：中等

设x，y满足约束条件的取值范围是    ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，-1），B（-3，-4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|=，则点C的坐标是    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}中，，则数列{a_n}的前2012项的和为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-2012|+…+|x-2|+|x-1|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2012|（x∈R），且f（a²+2a+2）＞f（a），则满足条件的实数a的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，．
（1）若，c=2，求△ABC的面积；
（2）求的值．

16. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=1，．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB的中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

17. 难度：中等

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

18. 难度：中等

如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，且a_n+2=（1+2|cos|）a_n+|sin|，n∈N^*．
（1）证明：数列{a_2n}（n∈N^*}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_k=a_2k+（-1）^k-1λ•2（λ为非零整数），试确定λ的值，使得对任意k∈N^*都有b_k+1＞b_k成立．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（x＞0）．
（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上单调性并证明你的结论；
（2）若f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；
（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞e^2n-3．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

22. 难度：中等

在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；
（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

23. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

24. 难度：中等

（选做题）
已知a，b是实数，如果矩阵M=所对应的变换将直线x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．

25. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
椭圆中心在原点，焦点在x轴上．离心率为，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，若的最大值为10，求椭圆的标准方程．

26. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．