2012-2013学年山东省临沂市沂南县大学卧龙学校高三（上）竞赛数学试卷（理科）（复习班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题是（ ）
A．若a＜b，则2^a＞2^b-1
B．若2^a＞2^b-1，则a＞b
C．若a＜b，则2^a＞2^b-1
D．若a≤b，则2^a≤2^b-1

2. 难度：中等

设全集U=R，集合，则C_UA=（ ）
A．（-∞，0）∪（1，+∞）
B．[0，1]
C．（0，1）
D．（-∞，0]∪[1，+∞）

3. 难度：中等

已知m∈R，复数在复平面内对应的点在直线x-y=0上，则实数m的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

函数y=x•|cosx|的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

的值等于（ ）
A．1+ln2
B．
C．1-ln2
D．

6. 难度：中等

设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，有两命题：p：若m∥n，则α∥β；q：若m⊥β，则α⊥β；那么（ ）
A．“p或q”是假命题
B．“p且q”是真命题
C．“非p或q”是假命题
D．“非p且q”是真命题

7. 难度：中等

已知实数x，y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且-1≤y≤1，则z=2x+y的最大值（ ）
A．6
B．5
C．4
D．-3

8. 难度：中等

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x，则关于x的方程f（x）=，在x∈[0，4]上解的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，成等差数列，则=（ ）
A．-1或3
B．3
C．27
D．1或27

10. 难度：中等

在△ABC中，D是BC的中点，AD=3，点P在AD上且满足，则=（ ）
A．6
B．-6
C．12
D．-12

11. 难度：中等

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记，，．则λ₂•λ₃取最大值时，2x+y的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

12. 难度：中等

已知曲线C：x²+y²=4（x≥0，y≥0），与抛物线x²=y及y²=x的图象分别交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则的值等于（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8

二、填空题

13. 难度：中等

已知，则cosα=    ．

14. 难度：中等

已知2+=4×，3+=9×，4+=16×，…，观察以上等式，若9+=k×；（m，n，k均为实数），则m+n-k=    ．

15. 难度：中等

已知双曲线的焦距为，一条渐近线平分圆x²+y²-4x+2y=0，则双曲线的标准方程为    ．

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），对∀x∈R，满足f（1-x）=f（1+x），f（-x）=-f（x），且f（x）在[0，1]上是增函数．下列结论正确的是    ．（把所有正确结论的序号都填上）
①f（0）=0；
②f（x+2）=f（-x）；
③f（x）在[-6，-4]上是增函数；
④f（x）在x=-1处取得最小值．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求角A；
（2）已知求b+c的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足（ p-1）S_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n∈N^*），数列{b_nb_n+2}的前n项和为T_n＜．

19. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，D是AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=5且且n∈N^*）．
（I）证明：数列为等差数列；
（II）求数列{a_n-1}的前n项和S_n．

21. 难度：中等

已知椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F₂的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数．（a为常数，a＞0）
（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（Ⅱ）求证：当0＜a≤2时，f（x）在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的a∈（1，2），总存在 ，使不等式f（x）＞m（1-a²）成立，求实数m的取值范围．