2012-2013学年北京市石景山区高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y²=8x的焦点坐标为（ ）
A．（-2，0）
B．（2，0）
C．（0，2）
D．（1，0）

2. 难度：中等

已知直线经过点A（0，4）和点B（1，2），则直线AB的斜率为（ ）
A．3
B．-2
C．2
D．不存在

3. 难度：中等

过点P（-1，2）与直线x+2y-1=0垂直的直线的方程为（ ）
A．x+2y+3=0
B．x-2y+5=0
C．x+2y-3=0
D．2x-y+4=0

4. 难度：中等

已知命题q：∀x∈R，x²+1＞0，则¬q为（ ）
A．∀x∈R，x²+1≤0
B．∃x∈R，x²+1＜0
C．∃x∈R，x²+1≤0
D．∃x∈R，x²+1＞0

5. 难度：中等

已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．6

6. 难度：中等

棱长为2的正方体的外接球的体积为（ ）
A．8
B．8π
C．
D．

7. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=AA₁=1，则直线BD₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

过点（1，1）的直线l与圆x²+y²=4交于A，B两点，若，则直线l的方程为（ ）
A．x+y-2=0
B．x-2y+1=0
C．2x-y-1=0
D．x-y-1=0

10. 难度：中等

设双曲线（a＞0）的渐近线方程为3x±2y=0，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，则cos∠AFB=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若椭圆C₁：（a₁＞b₁＞0）和椭圆C₂：（a₂＞b₂＞0）的焦点相同且a₁＞a₂．给出如下四个结论：
①椭圆C₁和椭圆C₂一定没有公共点；
②；
③a₁²-a₂²=b₁²-b₂²；
④a₁-a₂＜b₁-b₂．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③

二、填空题

13. 难度：中等

命题“∀a，b∈R，如果a＞b，则a³＞b³”的逆命题是    ．

14. 难度：中等

椭圆+=1的焦点为F₁、F₂，点P在椭圆上，若|PF₁|=4，则|PF₂|=    ，∠F₁PF₂的大小为     ．

15. 难度：中等

圆x²+y²-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为     ．

16. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱DD₁，AB上的点．已知下列判断：
①A₁C⊥平面B₁EF；
②△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线．
其中正确结论的序号为    （写出所有正确结论的序号）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知直线l与3x+4y-7=0的倾斜角相等，并且与两坐标轴围成的三角形面积等于24，求直线l的方程．

18. 难度：中等

已知直线l₁：2x+y=0，直线l₂：x+y-2=0和直线l₃：3x+4y+5=0．
（1）求直线l₁和直线l₂交点C的坐标；
（2）求以C点为圆心，且与直线l₃相切的圆C的标准方程．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：
（Ⅰ）PA∥平面BDE；
（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．

20. 难度：中等

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AB=1，，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面ACE．

21. 难度：中等

已知平面内一点P与两个定点和的距离的差的绝对值为2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设过（0，-2）的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求直线l的方程．

22. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．