2012-2013学年内蒙古乌兰察布北师大集宁附中高一（上）第二次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）

A．①是棱台
B．②是圆台
C．③是棱锥
D．④不是棱柱

2. 难度：中等

若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（ ）
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面

3. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线BD₁与A₁D所成的角等于（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

5. 难度：中等

正方体的体积是64，则其表面积是（ ）
A．64
B．16
C．96
D．无法确定

6. 难度：中等

α表示一个平面，l表示一条直线，则α内至少有一条直线与直线l（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直

7. 难度：中等

对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（ ）
A．a⊂α，b⊂α
B．a⊂α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α
D．a⊂α，b⊥α

8. 难度：中等

圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）
A．缩小到原来的一半
B．扩大到原来的2倍
C．不变
D．缩小到原来的

9. 难度：中等

三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A．1倍
B．2倍
C．倍
D．倍

10. 难度：中等

下面四个命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a∥c．
其中真命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

11. 难度：中等

已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

12. 难度：中等

如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（ ）

A．90°
B．60°
C．45°
D．30°

二、填空题

13. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，则二面角D₁-AB-D的大小为    ．

14. 难度：中等

（文）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为    ．

15. 难度：中等

设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，S在α、β之间，且AS=1，BS=2，CD=6，则SD=    ．

16. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD； 
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；   
④AB与CD所成的角为60°；
其中正确结论是    （写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域．

18. 难度：中等

圆柱的高是8cm，表面积是130πcm²，求它的底面圆半径和体积．

19. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC与△A₁B₁C₁都为正三角形且AA₁⊥面ABC，F、F₁分别是AC，A₁C₁的中点．
求证：
（1）平面AB₁F₁∥平面C₁BF；
（2）平面AB₁F₁⊥平面ACC₁A₁．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x+．
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）写出函数f（x）在整个定义域上的单调区间．（直接写出答案，不要求写证明过程）．

21. 难度：中等

（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

22. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．