2012-2013学年广东省江门市开平市开侨中学高二（下）入学数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式的解集是（ ）
A．（-3，2）
B．（2，+∞）
C．（-∞，-3）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（3，+∞）

2. 难度：中等

使不等式x²-3x＜0成立的必要不充分条件是（ ）
A．0＜x＜4
B．0＜x＜3
C．0＜x＜2
D．x＜0或x＞3

3. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₄=15，S₅=55，则过点P（3，a₃），Q（4，a₄）的直线斜率为（ ）
A．4
B．
C．-4
D．-

4. 难度：中等

若△ABC的内角A满足，则sinA+cosA=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

6. 难度：中等

已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于（ ）
A．15
B．21
C．19
D．17

7. 难度：中等

p：∀x∈R^*，y=递减，q：在R上，函数y=||递减．则下列命题正确的是（ ）
A．p∨q
B．p∧q
C．^¬p∧q
D．q

8. 难度：中等

如图过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ ）

A．y²=
B．y²=9
C．y²=
D．y²=3

二、填空题

9. 难度：中等

若实数a、b满足a+b=2，则3^a+3^b的最小值是     ．

10. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁=120，d=-4，若S_n≤a_n（n≥2），则n的最小值为    ．

11. 难度：中等

设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为    ．

12. 难度：中等

下列命题：①∀x∈R，x²≥x；②∃x∈R，x²≥x； ③4≥3；④“x²≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠-1”．中，其中正确命题的序号是    ．

13. 难度：中等

△ABC的三边分别为a，b，c且满足b²=ac，2b=a+c，则此三角形形状是    ．

14. 难度：中等

已知双曲线中心在原点，右焦点与抛物线y²=16x的焦点重合，则该双曲线的离心率为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知p：|1-|≤2，q：（x-1）²-m²≤0，且¬p是¬q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

16. 难度：中等

已知点M在椭圆上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．
（1）若圆M与y轴相切，求椭圆的离心率；
（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程．

17. 难度：中等

已知A、B、C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量，，．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若，求b的长．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若点E为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

19. 难度：中等

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜0）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x），且f（1）=，f（x）的最大值为．
（1）求a和b，c的值；
（2）解不等式．

20. 难度：中等

根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x₁，x₂，…，x_n，…，x₂₀₀₈；y₁，y₂，…，y_n，…，y₂₀₀₈．
（1）求数列x_n的通项公式；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，由此猜想出数列y_n的一个通项公式，并证明你的结论；
（3）求z_n=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n（x∈N^*，n≤2008）．