2012-2013学年广东省江门市鹤山一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x||x-1|＜2}，N={x|x（x-3）＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要而不充分条件

2. 难度：中等

等差数列{a_n}的前项和为S_n，若a₂+a₈=12，则S₉等于（ ）
A．54
B．45
C．36
D．27

3. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形

4. 难度：中等

已知函数f（x）=x+2^x，g（x）=x+lnx，的零点分别为x₁，x₂，x₃，则x₁，x₂，x₃的大小关系是（ ）
A．x₁＜x₂＜x₃
B．x₂＜x₁＜x₃
C．x₁＜x₃＜x₂
D．x₃＜x₂＜x₁

5. 难度：中等

已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或7

6. 难度：中等

平面向量、的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+|=（ ）
A．
B．
C．3
D．7

7. 难度：中等

若曲线C：x²+y²+2ax-4ay+5a²-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2）
B．（-∞，-1）
C．（1，+∞）
D．（2，+∞）

8. 难度：中等

对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-1），x∈R．若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．（-1，1]∪（2，+∞）
B．（-2，-1]∪（1，2]
C．（-∞，-2）∪（1，2]
D．[-2，-1]

二、填空题

9. 难度：中等

若向量=（1，1），=（-1，2），则与夹角余弦值等于    ．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=则f[f（）]=    ．

多面体	面数（F）	顶点数（V）	棱数（E）
三棱锥	4	4	6
三棱柱	5	6	…
正方体	…	…	…
…	…	…	…

11. 难度：中等

已知F₁（-1，0），F₂（1，0）为椭圆=1的两个焦点，若椭圆上一点P满足||+||=4，则椭圆的离心率e=    ．

12. 难度：中等

函数y=e^2x图象上的点到直线2x-4y-4=0距离的最小值是    ．

13. 难度：中等

若不等式对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是     ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的参数方程为（参数t∈R），若圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则圆心C到直线l的距离为    ．

15. 难度：中等

如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E．若，∠APB=30°，则AE=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求的值．

17. 难度：中等

为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜爱打篮球	不喜爱打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ，求ξ的分布列与期望．
下面的临界值表供参考：

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=，其中n=a+b+c+d）

18. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

19. 难度：中等

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若，，证明：λ+μ为定值．

20. 难度：中等

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e）其中e是自然常数，a∈R．
（1）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=a₂=2，a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n≥2时，求证：；
（3）若函数f（x）满足：f（1）=a₁，f（n+1）=[f（n）]²+f（n）（n∈N^*），求证：．