2012-2013学年陕西省榆林市神木中学高二（上）数学寒假作业3（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列语句是命题的为（ ）
A．x-1=0
B．他还年青
C．20-5×3=10
D．在2020年前，将有人登上为火星

2. 难度：中等

化简+--的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

甲乙两人至少有一个是三好学生是指（ ）
A．甲是三好学生，或乙是三好学生
B．甲乙两人都是三好学生
C．甲乙两人至多有一个是三好学生
D．甲乙两人都不是三好学生

4. 难度：中等

若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

若点A（λ²+4，4-μ，1+2γ）关于y轴的对称点是B（-4λ，9，7-γ），则λ，μ，γ的值依次为（ ）
A．1，-4，9
B．2，-5，-8
C．-3，-5，8
D．2，5，8

6. 难度：中等

已知是平面α内的两个非零向量，是直线l的方向向量，那么“”是“l⊥α”的什么条件（ ）
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分又不必要

7. 难度：中等

在以下四个命题中，不正确的个数为（ ）
（1）若
（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，且x+y+z=1
（3）空间三个向量，若
（4）对于任意空间任意两个向量，的充要条件是存在唯一的实数λ，使．
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，-5），点P（x，-1，3）在平面ABC内，则x的值为（ ）
A．-4
B．1
C．10
D．11

9. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知，，，其中为单位正交基底，若，，共同作用在一个物体上，使物体从点M₁（1，-2，1）移到M₂（3，1，2），则这三个合力所作的功为（ ）
A．14
B．
C．-14
D．

11. 难度：中等

已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

下列说法中错误的个数为①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与a=b是等价的；⑤“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量之间的夹角为，且，则=    ．

14. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为    ．

15. 难度：中等

命题“若x≠1或x≠2，则x²-3x+2≠0”是    命题．（填“真”或“假”）

16. 难度：中等

已知，则的最小值是    ．

17. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1．若二面角C-AB-C₁的大小为60°，则点C到平面ABC₁的距离为    ．

18. 难度：中等

设直线a，b的方向向量是e₁，e₂，平面α的法向量是n，给出下列推理：
①  ②
③  ④
其中，正确的推理序号是    ．

19. 难度：中等

已知A（k，12，1），B（4，5，1），C（-k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=    ．

三、解答题

20. 难度：中等

已知p：-x²+8x+20≥0，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知，
（1）若，求x的值；     
（2）若，求x的值．

22. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，
（1）问AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面CD₁E夹角的余弦值．

23. 难度：中等

命题P：关于x的不等式x²+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；
命题q：函数f（x）=（5-2a）^x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

24. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=1，D是棱C C₁上的一点，P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA₁
（Ⅰ）求证：CD=C₁D；
（Ⅱ）求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面B₁DP的距离．