2012-2013学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在△ABC中，A=60°，C=45°，c=20，则边a的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

不等式（x-50）（60-x）＞0的解集是（ ）
A．（-∞，50）
B．（60，+∞）
C．（50，60）
D．（-∞，50）∪（60，+∞）

3. 难度：中等

十三世纪初，意大利数学家斐波那契（Fibonacci，1170～1250）从兔子繁殖的问题，提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”，该数列可用递推公式由此可计算出F₇=（ ）
A．8
B．13
C．21
D．34

4. 难度：中等

函数f（x）=xlnx的单调递减区间是（ ）
A．（0，e）
B．（e，+∞）
C．
D．

5. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和S_n=a₁+a₂+…+a_n，若S₁₀=31，S₂₀=122，则S₃₀=（ ）
A．153
B．182
C．242
D．273

6. 难度：中等

关于双曲线9y²-16x²=144，下列说法错误的是（ ）
A．实轴长为8，虚轴长为6
B．离心率为
C．渐近线方程为
D．焦点坐标为（±5，0）

7. 难度：中等

下列命题为真命题的是（ ）
A．∀x∈N，x³＞x²
B．∃x∈R，
C．“x＞3”是“x²＞9”的必要条件
D．函数f（x）=ax²+bx+c为偶函数的充要条件是b=0

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：
①f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]； ②f（x）的极值点有且仅有一个；  ③f（x）的最大值与最小值之和等于零，则下列选项正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

二、填空题

9. 难度：中等

一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第2项为    ．

10. 难度：中等

与椭圆焦点相同的等轴双曲线的标准方程为    ．

11. 难度：中等

小明用TI-Nspire™CAS中文图形计算器作出函数的图象如图所示，那么不等式f（x）≥0的解集是    ．（用区间表示）

12. 难度：中等

已知，，且，则=    ．

13. 难度：中等

在周长为定值P的扇形中，当半径为    时，扇形的面积最大，最大面积为    ．

14. 难度：中等

已知抛物线f（x）=2x²-x上一点P（3，f（3））及附近一点P'（3+△x，f（3+△x）），则割线PP′的斜率为=    ，当△x趋近于0时，割线趋近于点P处的切线，由此可得到点P处切线的一般方程为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=x（x+2）（x-3）．
（1）求导数f′（x）；     
（2）求f（x）的单调区间．

16. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点均在直线上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，试求T_n．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（1）若边BC上的中线AD记为m_a，试用余弦定理证明：．
（2）若三角形的面积S=，求∠C的度数．

18. 难度：中等

某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．

	用煤（吨）	用电（千瓦）	产值（万元）
甲产品	7	20	8
乙产品	3	50	12

但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少？

19. 难度：中等

如图，在长方体AC₁中，，点E、F分别是面A₁C₁、面BC₁的中心．以D为坐标原点，DA、DC、DD₁所为直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：
（1）求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上．若右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．