2012-2013学年四川省雅安中学高三（上）1月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2，3，5，7}，B={x∈Z|1＜x≤6}，全集U=A∪B，则A∩C_UB=（ ）
A．{1，4，6，7}
B．{2，3，7}
C．{1，7}
D．{1}

2. 难度：中等

命题“存在x∈R，2^x≤0”的否定是（ ）
A．不存在x∈R，＞0
B．存在x∈R，≥0
C．对任意的x∈R，2^x≤0
D．对任意的x∈R，2^x＞0

3. 难度：中等

如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出的T=（ ）

A．29
B．30
C．31
D．32

5. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，若，则a_n等于（ ）
A．2^n-1
B．2^3-n
C．2^n-2
D．2ⁿ

6. 难度：中等

已知平面向量，满足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

曲线在x=0处的切线方程为（ ）
A．x-y-1=0
B．x+y+1=0
C．2x-y-1=0
D．2x+y+1=0

9. 难度：中等

圆x²+y²-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ）
A．36
B．18
C．
D．

10. 难度：中等

函数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均为正数且公比不等于1的等比数列．对于函数y=f（x），若数列{lnf（a_n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：
①，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．②③④

12. 难度：中等

直线y=x与函数f（x）=的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-1，2]
B．[-1，2]
C．[2，+∞）
D．（-∞，-1]

二、填空题

13. 难度：中等

已知i为虚单位，则复数的虚部为    ．

14. 难度：中等

某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（°C）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64

由表中数据得线性回归方程中b=-2，预测当气温为-4°C时，用电量的度数约为    ．

15. 难度：中等

已知，则x²+y²的最小值是    ．

16. 难度：中等

△ABC中，它的三边分别为a，b，c，若A=120°，a=5，则b+c的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=，=．
（1）若=1，求的值；
（2）记函数f（x）=，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

18. 难度：中等

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-BD-C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA₁上是否存在点P，使得CP⊥面BDC₁？并证明你的结论．

20. 难度：中等

在等比数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n；
（3）试比较a_n与S_n的大小．

21. 难度：中等

已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

22. 难度：中等

已知函数（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）-2x的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求证：．