2012-2013学年湖北省咸宁市四校高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x²-1≤0}，N={x|，x∈Z}，则M∩N=（ ）
A．{-1，0，1}
B．{-1，0}
C．[-1，1）
D．[-1，0]

2. 难度：中等

设a，b∈R，已知命题p：a=b；命题q：，则p是q成立的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）

A．4π
B．5π
C．8π
D．10π

4. 难度：中等

已知直线x+y=a与圆x²+y²=2交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若+=，则a的值为（ ）
A．±1
B．±
C．±
D．±2

5. 难度：中等

设函数f（x）=（其中e为自然对数的底数），则的值为（ ）
A．+1
B．-1
C．+1
D．-1

6. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．存在使sinα+cosα=
B．y=tanx在其定义域内为增函数
C．y=cos2x+sin（-x）既有最大、最小值，又是偶函数
D．y=sin|2x+|最小正周期为π

7. 难度：中等

若方程2a•9^sinx+4a•3^sinx+a-8=0有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0或a≤-8
B．a＞0
C．
D．

8. 难度：中等

如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ）

A．O-ABC是正三棱锥
B．直线OB∥平面ACD
C．直线AD与OB所成的角是45°
D．二面角D-OB-A为45°

9. 难度：中等

函数在上单调递增，那么a的取值范围是（ ）
A．a≥-1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：，当且仅当n=3时，a_n最小，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-1，3）
B．
C．
D．（2，4）

二、填空题

11. 难度：中等

不等式的解集是    ．

12. 难度：中等

已知各项为正数的等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n使得，则+的最小值为    ．

13. 难度：中等

设a为锐角，若cos（a+）=，则sin（2a+）的值为    ．

14. 难度：中等

已知函数y=x-的图象为中心是坐标原点O的双曲线，在此双曲线的两支上分别取点P，Q，则线段PQ的最小值为    ．

15. 难度：中等

下列说法：
①函数y=图象的对称中心是（1，1）；
②“x＞2是x²-3x+2＞0”的充分不必要条件；
③对任意两实数m，n，定义定点“*”如下：m*n=，则函数f（x）=的值域为（-∞，0]；
④若函数f（x）=对任意的x₁≠x₂都有，则实数a的取值范围是（-，1]，
其中正确命题的序号为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

函数的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．

17. 难度：中等

某企业拟在2012年度进行一系列促销活动，已知某产品年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3-x与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2012年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用．若将每件产品售价定为：其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完．
（1）将2012年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数
（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

18. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（1）求证：D点为棱BB₁的中点；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角为60°，求的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x-4+4（x≥4）的反函数为f^-1（x），数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f^-1（a_n），（n∈N*），数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅱ）若c_n=•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知函数f（x）-x+（t＞0）和点P（1，0），过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM、PN，切点分别为M，N．
（Ⅰ）设|MN|=g（t），试求函数g（t）的表达式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M，N与A（0，1）三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，求m的取值范围．