2012-2013学年山东省聊城市某重点中学高二（上）第四次模块检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜log_m（ab）＜1，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1
B．1＜m＜8
C．m＞8
D．0＜m＜1或m＞8

2. 难度：中等

如图过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程为（ ）

A．y²=
B．y²=9
C．y²=
D．y²=3

3. 难度：中等

若a＞b＞0，则（ ）
A．a²c＞b²c（c∈R）
B．
C．lg（a-b）＞0
D．

4. 难度：中等

一个数列{a_n}，其中a₁=3，a₂=6，a_n+2=a_n+1-a_n，那么这个数列的第五项是（ ）
A．6
B．-3
C．-12
D．-6

5. 难度：中等

设a=log₃2，b=ln2，c=，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a

6. 难度：中等

和是，则当n＞2时，下列不等式中的是（ ）
A．S_n＞na₁＞na_n
B．na₁＞na_n＞S_n
C．na₁＞S_n＞na_n
D．na_n＞na₁＞S_n

7. 难度：中等

若方程2ax²-x-1=0在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜-1
B．a＞1
C．-1＜a＜1
D．0≤a＜1

8. 难度：中等

不等式的解集为（ ）
A．{x|x＜-2，或x＞3}
B．{x|x＜-2，或1＜x＜3}
C．{x|-2＜x＜1，或x＞3}
D．{x|-2＜x＜1，或1＜x＜3}

9. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=15，3a_n+1=3a_n-2，（n∈N₊）则该数列中相邻的两项乘积是负数的项是（ ）
A．a₂₁和a₂₂
B．a₂₂和a₂₃
C．a₂₃和a₂₄
D．a₂₄和a₂₅

10. 难度：中等

简化的北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为．若AC与BD的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知△ABC的面积为（a²+b²-c²），则角C的度数为（ ）
A．135°
B．120°
C．60°
D．45°

二、填空题

12. 难度：中等

一蜘蛛沿正北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x=    cm．

13. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=m（m为正整数），a_n+1=若a₆=1，则m所有可能的取值为    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，A=30°，b=12，S_△ABC=18，则的值为    ．

15. 难度：中等

已知钝角△ABC的三边的长是3个连续的自然数，其中最大角为∠A，则cosA=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．
（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；
（2）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E．若k₁•k₂=-，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P₁、P₂满足+=，写出求作点P₁、P₂的步骤，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范围．

17. 难度：中等

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：
a₁  a₂    a₃     …a_n-1 a_n 第1行
a₁+a₂   a₂+a₃   …a_n-1+a_n  第2行
…
…
…第n行
上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n．
（1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k-1（k=1，2，…，n），求和．

18. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．

19. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和
（1）令b_n=2ⁿa_n，求证：数列b_n是等差数列，并求数列a_n的通项公式．
（2）令，试比较T_n与的大小，并予以证明．

20. 难度：中等

已直方程在x∈[0，nπ），（n∈N^*）内所有根的和记为a_n
（1）写出a_n的表达式：（不要求严格的证明）  
（2）求S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）设b_n=（kn-5）π，若对任何n∈N^*都有a_n≥b_n，求实数k的取值范围．