2012-2013学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“非空集合M不是P的子集”的充要条件是（ ）
A．∀x∈M，x∉P
B．∀x∈P，x∈M
C．∃x₁∈M，x₁∈P又∃x₂∈M，x₂∉P
D．∃x∈M，x∉P

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数z=i+2i²+3i³所对应的点是（ ）
A．（2，2）
B．（-2，2）
C．（-2，-2）
D．（2，-2）

3. 难度：中等

已知集合A={x|y=lg（2x-x²）}，B={y|y=2^x，x＞0}，R是实数集，则（∁_RB）∩A=（ ）
A．[0，1]
B．（0，1]
C．（-∞，0]
D．以上都不对

4. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，公差d=2，S_k+2-S_k=24，则k=（ ）
A．8
B．7
C．6
D．5

5. 难度：中等

已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC．则下列结论正确的个数是（ ）
①CD∥平面PAF   ②DF⊥平面PAF  ③CF∥平面PAB   ④CF∥平面PAD．

A．1
B．2
C．3
D．4

6. 难度：中等

函数的图象的一个对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）= 若f（2-x²）＞f（x），则实数x的取值范围是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，+∞）
C．（-1，2）
D．（-2，1）

9. 难度：中等

设函数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．x₁+x₂＞0
B．x₁²＞x₂²
C．x₁＞x₂
D．x₁²＜x₂²

10. 难度：中等

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？

11. 难度：中等

已知a，b∈R⁺，且满足的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．5

12. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个承托函数、现有如下命题：
①对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数．
下列选项正确的是（ ）
A．①
B．②
C．①③
D．②③

二、填空题

13. 难度：中等

在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两相互垂直，且OA＞OB＞OC，分别过OA、OB、OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃中的最小值是    ．

14. 难度：中等

设（其中e为自然对数的底数），则的值为    ．

15. 难度：中等

设P是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，若，则2λ+μ的最大值为    ．

16. 难度：中等

一质点P由原点出发作如下运动：先向第一象限任意方向运动，运动距离为r，再沿向量（1，1）方向运动，运动距离为m，（其中0≤r≤2，0≤m≤2，r+m=2），则质点P所有可能达到的位置形成的区域面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使，得到三棱锥B-ACD．
（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；
（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得，并证明你的结论．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若．
（1）求证：{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（I）用a表示出b，c；
（II）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁上的点．且满足，
（1）若在AB上有一点P，使A₁C⊥平面PEF，求的值．
（2）求此正方体在平面PEF内射影的面积．

22. 难度：中等

已知函数，其导函数为f′（x）．
（1）求f′（x）的最小值；
（2）证明：对任意的x₁，x₂∈[0，+∞）和实数λ₁≥0，λ₂≥0且λ₁+λ₂=1，总有f（λ₁x₁+λ₂x₂）≤λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）；
（3）若x₁，x₂，x₃满足：x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0且x₁+x₂+x₃=3，求f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）的最小值．