2012-2013学年山东省青岛一中高三（上）1月调研数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i²⁰¹³的值为（ ）
A．1
B．i
C．-1
D．-i

2. 难度：中等

全称命题：∀x∈R，x²＞0的否定是（ ）
A．∀x∈R，x²≤0
B．∃x∈R，x²＞0
C．∃x∈R，x²＜0
D．∃x∈R，x²≤0

3. 难度：中等

阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

4. 难度：中等

已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A．8π
B．7π
C．2π
D．

5. 难度：中等

已知幂函数f（x）=x^2+m是定义在区间[-1，m]上的奇函数，则f（m+1）=（ ）
A．8
B．4
C．2
D．1

6. 难度：中等

已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

7. 难度：中等

已知数列{a_n}满足log₃a_n+1=log₃a_n+1（n∈N^*），且a₂+a₄+a₆=9，则的值是（ ）
A．-5
B．
C．5
D．

8. 难度：中等

△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心

9. 难度：中等

△ABC中，三边长a，b，c满足a³+b³=c³，那么△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上均有可能

10. 难度：中等

设函数，若f（4）=f（0），f（2）=2，则函数g（x）=f（x）-x的零点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

11. 难度：中等

某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为    的学生．

12. 难度：中等

在如图的表格，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a+b+c值为    ．

1		2
		1
		a
			b
				c

13. 难度：中等

已知，B={x|log₂（x-2）＜1}，则A∪B=    ．

14. 难度：中等

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=    ．

15. 难度：中等

四棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC+BD=3，=1，则EG²+FH²=    ．

16. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，则a+b的最小值为    ．

17. 难度：中等

如图所示，C是半圆弧x²+y²=1（y≥0）上一点，连接AC并延长至D，使|CD|=|CB|，则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时，D点的轨迹是    的一部分，D点所经过的路程为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=1+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若tanx=2，求f（x）的值．

19. 难度：中等

某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X	1	2	3	4	5
f	a	0.2	0.45	b	c

（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x₁，x₂，x₃，等级系数为5的2件日用品记为y₁，y₂，现从x₁，x₂，x₃，y₁，y₂，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

20. 难度：中等

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求多面体ABCDE的体积；
（3）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．

21. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂c₃+…+c₂₀₁₂．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．