2012-2013学年湖北省黄冈中学、孝感高中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，复数z满足zi=2+i，则z等于（ ）
A．2-i
B．-2-i
C．1+2i
D．1-2i

2. 难度：中等

设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x-y+m＞0}，B={（x，y）|x+y-n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁_UB）的充要条件是（ ）
A．m＞-1，n＜5
B．m＜-1，n＜5
C．m＞-1，n＞5
D．m＜-1，n＞5

3. 难度：中等

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中随机地取一点P，则点P与正方体各表面的距离都大于的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

求曲线y=x²与y=x所围成图形的面积，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）=2^x+x³-2的零点个数是（ ）个．
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设函数y=f（x）在定义域内的导函数为y=f′（x），y=f（x）的图象如图1所示，则y=f′（x）的图象可能为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知两不共线向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），则下列说法不正确的是（ ）
A．||=||=1
B．（+）⊥（-）
C．与的夹角等于α-β
D．与在+方向上的投影相等

9. 难度：中等

已知直线：A₁x+B₁y+C₁=0（C₁≠0）与直线l₂：A₂x+B₂y+C₂=0（C₂≠0）交于点M，O为坐标原点，则直线OM的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A．10π
B．25π
C．50π
D．100π

二、填空题

11. 难度：中等

为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是    ．

12. 难度：中等

若是函数f（x）=asinx+bcosx（a、b均为常数）图象的一条对称轴，则的值为    ．

13. 难度：中等

（1-ax）²（1+x）⁶的展开式中，x³项的系数为-16，则实数a的值为    ．

14. 难度：中等

若，z=x+2y，则z的取值范围是    ．

15. 难度：中等

（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1，则CD的长为    ．

16. 难度：中等

在极坐标系中，曲线C₁：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C₂：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上，则a=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=|x+2|．
（1）解关于x的不等式f（x）-|3x-4|≤1；
（2）若f（x）+|x-a|＞1恒成立，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．

19. 难度：中等

某单位进行这样的描球游戏：甲箱子里装有3个白球，2个红球，乙箱子里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）．
（1）求在1次游戏中①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；
（2）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望EX．

20. 难度：中等

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值；
（3）求点B到平面MAC的距离．

21. 难度：中等

已知斜率为-2的直线与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点为．直线l₂与y轴交于点M（0，m）（m≠0），与椭圆C交于相异两点P，Q，O为坐标原点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求λ的值；
（3）求m的取值范围．

22. 难度：中等

在数列中，a₁=1，前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若，求数列{（-1）ⁿb_n}的前n项和T_n；
（3）求证：．