2012-2013学年江西省赣州市上犹县三中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（北京卷理1）集合P={x∈Z|0≤x＜3}，M={x∈Z|x²＜9}，则P∩M=（ ）
A．{1，2}
B．{0，1，2}
C．{x|0≤x＜3}
D．{x|0≤x≤3}

2. 难度：中等

函数的定义域是（ ）
A．[3，+∞）
B．
C．
D．（-∞，-3）

3. 难度：中等

已知：tan，则等于（ ）
A．3
B．-3
C．2
D．-2

4. 难度：中等

若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2
B．1
C．
D．

5. 难度：中等

直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内

6. 难度：中等

若把函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

定义在R上的函数y=ln（x²+1）+|x|，满足f（2x-1）＞f（x+1），则x满足的关系是（ ）
A．（2，+∞）∪（-∞，0）
B．（2，+∞）∪（-∞，1）
C．（-∞，1）∪（3，+∞）
D．（2，+∞）∪（-∞，-1）

8. 难度：中等

设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．D（x）的值域为{0，1}
B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数
D．D（x）不是单调函数

9. 难度：中等

若函数y=2^x图象上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N^*）的前n项和等于，则n等于 （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、填空题

11. 难度：中等

复数（1+）⁴=    ．

12. 难度：中等

（1+）dx=    ．

13. 难度：中等

观察下列等式：1²=1，1²-2²=-3，1²-2²+3²=6，1²-2²+3²-4²=-10，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N^*，1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当时，恒成立．则=    ．

15. 难度：中等

以下命题：
①若|-|=||-||，则∥；
②=（-1，1）在=（3，4）方向上的投影为；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，-=20；
④若非向量、满足=，则|2|＞|+2|．
其中所有真命题的标号是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（1）求等差数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和．

18. 难度：中等

已知向量，．且x
求（1）；
（2）若f（x）=-2λ||的最小值是-，求λ的值．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

20. 难度：中等

数列的前n项和．
（1）求证：数列是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}对任意恒成立，求实数k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a为实常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[，1]上有解，求实数a的取值范围；
（3）证明：（参考数据：ln2≈0.6931）