2012-2013学年福建省福州一中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

当在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

下列命题中错误的是（ ）
A．命题“若x²-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x²-5x+6≠0”
B．若x，y∈R，则“x=y”是成立的充要条件
C．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q必一真一假
D．对命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，则x²+x+1≥0

3. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（3a，-4a）（其中a＜0），则cosα的值为（ ）
A．-
B．-
C．
D．

4. 难度：中等

已知集合M={x|x²-2012x-2013＞0}，N={x|x²+ax+b≤0}，若M∪N=R，M∩N=（2013，2014]，则（ ）
A．a=2013，b=-2014
B．a=-2013，b=2014
C．a=2013，b=2014
D．a=-2013，b=-2014

5. 难度：中等

若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”下列四个命题，其中是“可换命题”的是（ ）
①垂直于同一平面的两直线平行；               ②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；               ④平行于同一平面的两直线平行．
A．①②
B．①④
C．①③
D．③④

6. 难度：中等

用反证法证明命题：“m，n∈N，mn可被5整除，那么m，n中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A．m，n都能被5整除
B．m，n不都能被5整除
C．m，n都不能被5整除
D．n不能被5整除

7. 难度：中等

已知函数 f（x）=a^x+x-b的零点x_b∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足2^a=3，3^b=2，则n的值是（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1

8. 难度：中等

设点O，F分别是原点和抛物线y²=4x的焦点，抛物线上的点A在其准线上的射影为B，且∠OFB=60°，则△ABF的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知a∈R，b∈R，且，则的最大值与最小值之和为（ ）
A．18
B．16
C．14
D．

10. 难度：中等

已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（ ）

A．f（x）=x-
B．f（x）=x+
C．f（x）=
D．f（x）=x+

二、填空题

11. 难度：中等

函数f（x）=x³-x²+1在点（1，1）处的切线与函数g（x）=x²围成的图形的面积等于    ．

12. 难度：中等

一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若要拼成一个棱长为1的正方体，则需要这样的几何体    个．

13. 难度：中等

如图所示，由若干个点组成形如长方形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n≥2）个点，每个图形总的点数记为a_n，则=    ．

14. 难度：中等

把离心率相同的椭圆叫做“相似椭圆”，如图的两个相似椭圆，分别是同一个矩形的内切椭圆和外接椭圆，且q（q＞1）是这两个椭圆长轴的长的比值，那么q=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=2，且a_n+1=3a_n，数列{b_n-a_n}是等差数列，其首项为3，公差为2，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

16. 难度：中等

已知，函数．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；
（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c的取值范围．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，为AB中点．
（Ⅰ）求证：ED⊥平面PDC；
（Ⅱ）当二面角P-EC-D的大小为时，求k的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线EC与平面PAB所成的角θ的正弦值．

18. 难度：中等

已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切．
（Ⅰ） 求双曲线E的方程；
（Ⅱ）已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，若存在g（x）使得g（x）≤f（x）恒成立，则称g（x）是f（x）的一个“下界函数”．
（I）如果函数g（x）=-lnx（t为实数）为f（x）的一个“下界函数”，求t的取值范围；
（II）设函数F（x）=f（x）-+，试问函数F（x）是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．