2012-2013学年广东省惠州一中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x＞2且y＞2”是“x+y＞4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A．30
B．25
C．20
D．15

3. 难度：中等

如图所示的算法流程图中，若输入的x值为-1，则输出的y值是（ ）

A．
B．
C．8
D．2

4. 难度：中等

f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象最有可能的是图中的（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在区间（1，7）中取一个数使取到的数大于3的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知抛物线的标准方程是y²=4x，过定点P（-2，1）的直线与抛物线有两交点，则斜率k的取值范围是（ ）
A．-1≤k≤
B．-1＜k＜
C．k＞或k＜-1
D．-1＜k＜且k≠0

8. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•…•x_n的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

9. 难度：中等

若，且，则m=    ．

10. 难度：中等

任选一个不大于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是    ．

11. 难度：中等

已知一个样本数据：1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是    ．

12. 难度：中等

为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是    ．

13. 难度：中等

已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

某中学共有学生2000人，各年级男，女生人数如下表：

	一年级	二年级	三年级
女生	373	x	y
男生	377	370	z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．
（1）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少名？
（2）已知y≥245，z≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．

16. 难度：中等

设函数f（x）=2cos（2x+）+（sinx+cosx）²．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（+）=，且C为锐角，求sinA的值．

17. 难度：中等

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期．以i-1＜t＜i表示第1月份（i=1，2，…，12），同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）．

18. 难度：中等

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=90°，E是棱CC₁上动点，F是AB中点，AC=BC=2，AA₁=4．
（1）求证：CF⊥平面ABB₁；
（2）当E是棱CC₁中点时，求证：CF∥平面AEB₁；
（3）在棱CC₁上是否存在点E，使得二面角A-EB₁-B的大小是45°，若存在，求CE
的长，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知点A是抛物线y²=2px（p＞0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交与点K，已知|AK|=|AF|，三角形AFK的面积等于8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l₁，l₂，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G，H．求|GH|的最小值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（2+3x）-x²．
（1）求函数y=f（x）的极大值；
（2）令g（x）=f（x）+x²+（m-1）x（m为实常数），试判断函数g（x）的单调性；
（3）若对任意x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，求实数a的取值范围．