2012-2013学年陕西省西安一中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁_UA）∩B=（ ）
A．{4}
B．{3，4}
C．{2，3，4}
D．{3}

2. 难度：中等

复数在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A．（1，1）
B．（-1，1）
C．（-1，-1）
D．（1，-1）

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=6，a₃=4，则公差d等于（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

4. 难度：中等

（理）的展开式中的常数项为（ ）
A．-24
B．-6
C．6
D．24

5. 难度：中等

函数的零点所在区间（ ）
A．
B．
C．（1，2）
D．（2，3）

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）

A．5100
B．2550
C．5050
D．100

7. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积 等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、B、C依次成等差数列，且a=1，等于（ ）
A．
B．
C．
D．2

9. 难度：中等

下列命题：
①函数f（x）=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②已知向量，，，则的充要条件是λ=-1；
③若，则a=e；
④圆x²+y²=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．
其中所有的真命题是（ ）
A．①②
B．③④
C．②④
D．①③

10. 难度：中等

已知点F₁、F₂是椭圆x²+2y²=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．

二、填空题

11. 难度：中等

200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为     辆．

12. 难度：中等

观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：    ．

13. 难度：中等

点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为    ．

14. 难度：中等

将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为    ．

15. 难度：中等

如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=    ．

16. 难度：中等

在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为    ．

17. 难度：中等

若不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立，则m的取值范围为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数f（x）=2sinxcosx-cos2x+1．
（1）求；
（2）求f（x）的最大值和最小正周期．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．
（1）求证：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．

20. 难度：中等

已知：等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q．
（1）写出数列{a_n}的前n项和S_n的公式；
（2）给出（1）中的公式的证明．

21. 难度：中等

某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．
（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；
（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；
（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=xlnx．
（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；
（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．

23. 难度：中等

如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足k_AD•k_AE=2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．