2012-2013学年湖南省怀化市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

数列4，3，2，1，…的通项公式可以是（ ）
A．a_n=5-n
B．a_n=6-2n
C．a_n=n+3
D．a_n=2n+2

2. 难度：中等

下列不等式恒成立的是（ ）
A．a＞b⇒a²＞b²
B．a＞b⇒|a|＞|b|
C．
D．a＞b，c＜d⇒a-c＞b-d

3. 难度：中等

不等式2x+y-3≤0表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=3，且a_n+1-a_n=2（n∈N^*），则a₁₀为（ ）
A．17
B．19
C．21
D．23

5. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线为y=2x，则实数a的值为（ ）
A．16
B．8
C．4
D．2

6. 难度：中等

如图，已知平行六面体OABC-O₁A₁B₁C₁，点G是上底面O₁A₁B₁C₁的中心，且，，，则用，，表示向量为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知x＞0，则函数的最小值是（ ）
A．8
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x-2y的最小值是（ ）
A．-5
B．-4
C．-3
D．0

二、填空题

9. 难度：中等

命题“若x＞2，则x²＞4”的逆否命题是    ．

10. 难度：中等

不等式x²≥3x+10的解集是    ．

11. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若，则公比q=    ．

12. 难度：中等

已知，，且，则y的值为    ．

13. 难度：中等

椭圆上一点M到左焦点F₁的距离为2，N是线段MF₁的中点（O为坐标原点），则|ON|=    ．

14. 难度：中等

已知x＞0，则函数的最大值是    ．

15. 难度：中等

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，若△BDF为等边三角形，△ABD的面积为6，则p的值为    ，圆F的方程为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

求双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率．

17. 难度：中等

如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗艇以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．
（1）求该军舰艇的速度；
（2）求sinα的值．

18. 难度：中等

已知f（x）=x²-4x，g（x）=m²x-1（m∈R）．
（1）求当x∈[0，3]时f（x）的最大值和最小值；
（2）对∀x₁∈[-1，1]，∃x∈[0，3]，使g（x₁）=f（x），求m的取值范围．

19. 难度：中等

在四棱锥P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中点，求证：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

20. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）对任意n∈N^*，是否存在正实数λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的右焦点F（1，0），离心率为．过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的斜率的取值范围．