2012-2013学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知点A（1，2），B（-3，6），则过A，B两点的直线斜率为（ ）
A．-1
B．
C．2

2. 难度：中等

若直线l₁：ax-4y+1=0，l₂：ax+y+1=0，且l₁⊥l₂，则实数a的值为（ ）
A．2
B．±2
C．4
D．±4

3. 难度：中等

若命题p：∃x＞0，x²-3x+2＞0，则命题￢p为（ ）
A．∃x＞0，x²-3x+2≤0
B．∃x≤0，x²-3x+2≤0
C．∀x＞0，x²-3x+2≤0
D．∀x≤0，x²-3x+2≤0

4. 难度：中等

如图所示的几何体为正方体的一部份，则它的侧视图可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若空间三条直线a、b、c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）
A．一定平行
B．一定垂直
C．一定是异面直线
D．一定相交

6. 难度：中等

若集合A={2，m²}，B={0，1，3}则“m=1”是“A∩B={1}“的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（ ）
A．3x+4y-15=0
B．3x-4y-15=0
C．4x-3y+20=0
D．4x-3y-20=0

8. 难度：中等

已知命题p：y=sinx，x∈R是奇函数；命题q：已知a，b为实数，若a²=b²，则a=b．则下列判断正确的是（ ）
A．p∧q为真命题
B．（￢p）∨q为真命题
C．p∧（￢q）为真命题
D．（￢p）∨（￢q）为假命题

9. 难度：中等

点P（-1，3）到直线l：y=k（x-2）的距离的最大值等于（ ）
A．2
B．3
C．3
D．2

10. 难度：中等

点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（1，0），圆C：x²+2x+y²=0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是（ ）
A．.双曲线的一支
B．.椭圆
C．抛物线
D．射线

二、填空题

11. 难度：中等

棱长为a的正方体的外接球的表面积是    ．

12. 难度：中等

若直线2x-y+1=0平分圆x²+y²+2x-my+1=0的面积，则m=    ．

13. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱CC₁的中点，则异面直线BD₁与AM所成角的余弦值为    ．

14. 难度：中等

探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是     cm．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，已知四边形OABC是矩形，O是坐标原点，O、A、B、C按逆时针排列，A的坐标是，|AB|=4．
（Ⅰ） 求点C的坐标；
（Ⅱ）求BC所在直线的方程．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，AB=BC=1，M为PD的中点．
（Ⅰ） 求证：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求证：CD⊥平面PAC．

17. 难度：中等

已知圆C经过点A（0，3）和B（3，2），且圆心C在直线y=x上．
（Ⅰ） 求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=2x+m被圆C所截得的弦长为4，求实数m的值．

18. 难度：中等

已知动圆C过定点F（1，0），且与定直线x=-1相切．
（Ⅰ） 求动圆圆心C的轨迹T的方程；
（Ⅱ）若轨迹T上有两个定点A、B分别在其对称轴的上、下两侧，且|FA|=2，|FB|=5，在轨迹T位于A、B两点间的曲线段上求一点P，使P到直线AB的距离最大，并求距离的最大值．

19. 难度：中等

如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
（Ⅰ） 求证：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁；
（Ⅱ）若二面角D₁-BC-D的大小为45°，求直线CD与平面A₁BCD₁所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率．
（Ⅰ） 求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．