2012-2013学年河南省驻马店市泌阳一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

物体运动方程为，则t=2时瞬时速度为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

3. 难度：中等

若方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．（0，2）
C．（1，+∞）
D．（0，1）

4. 难度：中等

下面命题中，正确命题的个数为（ ）
①若₁、₂分别是平面α、β的法向量，则₁∥₂⇔α∥β；
②若₁、₂分别是平面α、β的法向量，则α⊥β⇔₁•₂=0；
③若是平面α的法向量，、是α内两不共线向量=λ+μ，（λ，μ∈R）则•=0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

命题A：两曲线F（x，y）=0和G（x，y）=0相交于点P（x，y），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）=0（λ为常数）过点P（x，y），则命题A是命题B的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设点P是曲线上的任意一点，P点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y²=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图所示，在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则向量的坐标为（ ）

A．（）
B．
C．
D．

10. 难度：中等

（理）已知双曲线的左焦点为F₁，左、右顶点为A₁、A₂，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两个圆的位置关系为（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上情况都有可能

11. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

12. 难度：中等

设椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个实根分别为x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）（ ）
A．必在圆x²+y²=2内
B．必在圆x²+y²=2上
C．必在圆x²+y²=2外
D．以上三种情形都有可能

二、填空题

13. 难度：中等

函数f（x）=ln（x+1）-ax在（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，A（-2，3），B（3，-2），沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为    ．

15. 难度：中等

设P为双曲线x²-=1上的一点，F₁，F₂是该双曲线的左、右焦点，若△PF₁F₂的面积为12，则∠F₁PF₂等于    ．

16. 难度：中等

下列四个命题中，正确的命题序号是   
（1）对于函数f（x）=（2x-x²）e^x，是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；
（2）设回归直线方程为y=2-2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位；
（3）已知平面向量=（1，1），=（1，-1），则向量=（-2，-1）；
（4）已知P，Q为抛物线x²=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为-4．

三、解答题

17. 难度：中等

投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4．将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
（Ⅰ）求点P落在区域C：x²+y²≤10上的概率；
（Ⅱ）若以落在区域C：x²+y²≤10上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

19. 难度：中等

把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

20. 难度：中等

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．
（Ⅰ）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（Ⅱ）当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

21. 难度：中等

如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|
（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²
（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．