2012-2013学年安徽省马鞍山市中加双语学校高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数Z=在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

集合A={-1，0，4}，集合B={x|x²-2x-3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A．{4}
B．{4，-1}
C．{4，5}
D．{-1，0}

3. 难度：中等

下列命题：
①∀x∈R，不等式x²+2x＞4x-3成立；
②若log₂x+log_x2≥2，则x＞1；
③命题“”的逆否命题；
④若命题p：∀x∈R，x²+1≥1，命题q：∃x∈R，x²-2x-1≤0，则命题p∧¬q是真命题．其中真命题只有（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④

4. 难度：中等

如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）
A．2010
B．-1
C．
D．2

5. 难度：中等

从四棱锥S-ABCD的八条棱中任取两条，其中抽到两条棱成异面直线的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）


A．①②③⑤
B．②③④⑤
C．①②④⑤
D．①②③④

7. 难度：中等

函数的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

8. 难度：中等

中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆（x-2）²+y²=1都相切，则双曲线C的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设=，=，=x+y，则（x，y）为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数的两个极值分别为f（x₁），f（x₂），若x₁，x₂分别在区间（0，1）与（1，2）内，则的取值范围是（ ）
A．
B．（-∞，）∪（1，+∞）
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是    ．

12. 难度：中等

当x＞1时，直线y=ax-a恒在抛物线y=x²的下方，则a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

定义一种运算：（a₁，a₂）⊗（a₃，a₄）=a₁a₄-a₂a₃，将函数f（x）=（，2sinx）⊗（cosx，cos2x）的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知实数x，y满足条件，若使z取得最大值的有序数对（x，y）有无数个，则a=    ．

15. 难度：中等

已知在三棱锥T-ABC中，TA，TB，TC两两垂直，T在地面ABC上的投影为D，给出下列命题：
①TA⊥BC，TB⊥AC，TC⊥AB；
②△ABC是锐角三角形；
③；
④（注：S_△ABC表示△ABC的面积）
其中正确的是    （写出所有正确命题的编号）．

三、解答题

16. 难度：中等

sin²C=sin²A+sin²B+sinA•sinB，
（1）求角C；（2）若△ABC的外接圆半径是2时，求a+b的值．

17. 难度：中等

如图，四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的直观图（图1）和三视图（图2），底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，A₁A=D₁D=A₁D₁=1，M、N分别为A₁D₁、AD的中点．
（Ⅰ）由三视图判断平面AA₁D₁D与平面ABCD的位置关系（只需作出判断）
（Ⅱ）求证：BC⊥平面MNBB₁，
（Ⅲ）求二面角A₁-AB-D的正切值．

18. 难度：中等

“5、12”汶川地震后，为支持灾区教育，某市有甲、乙、丙等六名教师志愿者，被随机地分到灾区A、B、C、D、E五个不同的乡镇执教，且每个乡镇至少有一名教师．
（Ⅰ）求甲、乙两位教师同时分到A乡镇的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两位教师不在同一个乡镇的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这六名教师中分到A镇的人数，求ξ的分布列．

19. 难度：中等

已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F（4，0），长轴端点到较近焦点的距离为1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）为椭圆上不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若x₁+x₂=8，在x轴上是否存在一点D，使||=||若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足如图所示的流程图
（Ⅰ）写出数列{a_n}的一个递推关系式；
（Ⅱ）证明：{a_n+1-3a_n}是等比数列；并求出{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求数列的前n项和T_n．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．