2012-2013学年福建省福州市八县（市）一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集是R，集合A={x|-1≤x≤4}，B={x|3≤x≤5}，则A∩（C_RB）等于（ ）
A．[-1，5]
B．[3，4]
C．[-1，3）
D．（4，5）

2. 难度：中等

已知向量=（1，1），=（-1，0）若向量k+与向量=（2，1）共线，则k=（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

3. 难度：中等

已知sin（π-α）=，α∈（0，），则tan2α=（ ）
A．-
B．
C．-
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=的零点所在的区间是（ ）
A．（0，1]
B．（1，2]
C．（2，3]
D．（3，4]

5. 难度：中等

若幂函数的图象f（x）经过点A（，），则它在点A处的切线方程为（ ）
A．2x-y=0
B．2x+y=0
C．4x-4y+1=0
D．4x+y+1=0

6. 难度：中等

给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2^a＞2^b-1”的否命题为“若a≤b，则2^a≤2^b-1”；
③“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是“∃x∈R，x²+1≤1”；
④要得到函数y=sin（2x-）的图象，只需将函数y=sin2x的图象向右平移单位．
其中不正确的命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3

7. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx，则“f（2）≥0”是“函数f（x）在（1，+∞）单调递增”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（ ）
A．-1
B．-2
C．1
D．2

9. 难度：中等

函数y=的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，非零向量 =，=，且NP⊥OM，P为垂足，若向量=，则λ的值为（ ）

A．
B．-
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜），若将函数图象向左平移个单位后所得图象关于y轴对称，若将函数的图象向右平移个单位后所得图象关于原点对称，则ω的取值不可能是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．10

12. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

二、填空题

13. 难度：中等

若，则cos2θ=    ．

14. 难度：中等

在△ABC中，BC=1，，且面积等于，则AC=    ．

15. 难度：中等

已知min（a，b）=，设f（x）=min{x²，}，则由函数f（x）的图象与x轴、x=e直线所围成的封闭图形的面积为    ．

16. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ，（λ∈R，使得对任意的x∈R，都有f（x+λ）=λf（x），则称y=f（x）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题：
①函数f（x）=2x+11是倍增函数，且λ=1倍增系数；
②若函数y=f（x）是倍增系数λ=-1的倍增函数，则y=f（x）至少有1个零点；
③函数f（x）=e^-x是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）．
其中为真命题的是    ．（写出所有真命题的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

设函数f（x）=lg（-1）的定义域为集合A，函数g（x）=-x²+2x+a（0≤x≤3，a∈R）的值域为集合B．
（1）求f（）+f（）的值；
（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=sinxcosx-a（cosx）²+b（a＞0）
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）设x∈[0，]，f（x）的最小值是-1，最大值是2，求实数a的值．

19. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量=（a-2b，c），=（cosC，cosA），且．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．

20. 难度：中等

今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一个重大节假日，10月3日福州有一个群名为“天狼星”的自驾游车队，组织车友前往横店游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；
当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（x²+）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+x²-mx
（1）若m=3，求函数f（x）的极小值；
（2）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m取值范围；
（3）若m=1，△ABC的三个顶点A（x₁，y₁））、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），其中在函数f（x）的图象上，试判定△ABC的形状，并说明理由．

22. 难度：中等

已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围．