2012-2013学年天津一中高三（下）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

计算复数（1-i）²-等于（ ）
A．0
B．2
C．4i
D．-4i

2. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2π+2
B．4π+2
C．2π+
D．4π+

3. 难度：中等

极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（ ）
A．圆、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．直线、直线

4. 难度：中等

若△ABC的三个内角成等差数列，三边成等比数列，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形

5. 难度：中等

在△ABC中，tanA是以-4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形

6. 难度：中等

α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

7. 难度：中等

函数f（x）=sin2x-2sin²x，（0≤x≤）则函数f（x）的最小值为（ ）
A．1
B．-2
C．
D．-

8. 难度：中等

函数，若方程f（x）=x+a恰有两个不等的实根，则a的取值范围为（ ）
A．（-∞，0）
B．[0，1）
C．（-∞，1）
D．[0，+∞）

二、填空题

9. 难度：中等

[文科]非负实数x、y满足，则x+3y的最大值为    ．

10. 难度：中等

已知A（，0），B（0，1），坐标原点O在直线AB上的射影为点C，则=    ．

11. 难度：中等

（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且，AF：FB：BE=4：2：1，若CE与圆相切，则线段CE的长为    ．

12. 难度：中等

已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是    ．

13. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=1，a₇=4，在等比数列{b_n}中，b₁=6，b₂=a₃，则满足b_na₂₆＜1的最小正整数n是    ．

14. 难度：中等

设，则m与n的大小关系为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，．
（1）求的值；
（2）当△ABC的面积最大时，求∠A的大小．

16. 难度：中等

某机构向民间招募防爆犬，首先进行入围测试，计划考察三个项目：体能，嗅觉和反应．这三个项目中只要有两个通过测试，就可以入围．某训犬基地有4只优质犬参加测试，已知它们通过体能测试的概率都是，通过嗅觉测试的概率都是，通过反应测试的概率都是．求：
（1）每只优质犬能够入围的概率；
（2）若每入围1只犬给基地记10分，设基地的得分为随机变量ξ，求ξ的数学期望．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值；
（3）在棱PD上是否存在点E，PE：ED=λ，使得二面角C-AN-E的平面角为60°．存在求出λ值．

18. 难度：中等

数列{a_n}满足4a₁=1，a_n-1=[（-1）ⁿa_n-1-2]a_n（n≥2），
（1）试判断数列{+（-1）ⁿ}是否为等比数列，并证明；
（2）设a_n²∙b_n=1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

设n∈N^*，不等式组所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）
（1）求（x_n，y_n）；
（2）设数列{a_n}满足，求证：n≥2时，；
（3）在（2）的条件下，比较与4的大小．

20. 难度：中等

设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞0时，证明不等式：；
（Ⅲ）设f（x）的最小值为g（a），证明不等式：-．