2012-2013学年辽宁省沈阳市四校协作体高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x²-2x-3＜0}，，则M∩N等于（ ）
A．（-1，1）
B．（1，3）
C．（0，1）
D．（-1，0）

2. 难度：中等

下列说法中错误的个数是（ ）
①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②命题“∀x∈R，x²-x≤0”的否定是“∃x∈R，x²-x≥0”；
③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题；
④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件．
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

若实数x，y满足条件则z=2x-y的最大值为（ ）
A．9
B．3
C．0
D．-3

4. 难度：中等

设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则=（ ）
A．-
B．-
C．
D．

5. 难度：中等

已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设，（λ∈R），则λ等于（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2

6. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，a₂=1-a₁，a₄=9-a₃，则a₄+a₅=（ ）
A．16
B．27
C．36
D．81

7. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

8. 难度：中等

三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，则这个三棱柱的全面积等于（ ）

A．
B．
C．
D．4

9. 难度：中等

若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在各项均不为零的等差数列{a_n}中，若a_n+1-a_n²+a_n-1=0（n≥2），则S_2n-1-4n=（ ）
A．-2
B．0
C．1
D．2

11. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（b）≤bf（a）
B．bf（a）≤af（b）
C．af（a）≤f（b）
D．bf（b）≤f（a）

12. 难度：中等

已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点
B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点
C．无论k为何值，均有2个零点
D．无论k为何值，均有4个零点

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（x，4），且⊥，则x=    ．

14. 难度：中等

已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，，若四面体P-ABC的体积为，则该球的体积为    ．

15. 难度：中等

如图，由曲线y=sinx，直线x=π与x轴围成的阴影部分的面积是    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，若对所有n∈N^*不等式a_n≥a₃恒成立，则实数c的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，-），=（cos2B，2cos²-1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且满足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；数列{b_n}满足：b_n-b_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N﹡），b₁=1．
（Ⅰ）求a_n和b_n；
（Ⅱ）记数列c_n=（n∈N^*），若{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2xsinφ+cos²xcosφ-sin（+φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，，点M在线段EC上．
（I）当点M为EC中点时，求证：BM∥平面ADEF；
（II）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥M-BDE的体积．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x（e^x-1）-ax²
（Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．