2012-2013学年湖南省郴州市汝城一中高三（上）周练数学试卷（4）（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，4}，B={4，5}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．{5}
B．{4}
C．{1，2}
D．{3，5}

2. 难度：中等

lgx，lgy，lgz成等差数列是由y²=zx成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

为得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

4. 难度：中等

近年来，能源消耗大幅攀升、机动车保有量急增，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾天气的“元凶”之一是空气中pm2.5（直径小于等于2.5微米的颗粒物）．如下左图是某市某月（按30天计）根据对“pm2.5”24小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图，若规定空气中“pm2.5”24小时平均浓度值不超过0.075毫克/立方米为达标，那么该市当月“pm2.5”含量不达标的天数为（ ）

A．2
B．3
C．28
D．27

5. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若函数在区间（-∞，1]上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．[2，+∞）
C．[2，3）
D．（1，3）

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-5x+4，则不等式组对应的平面区域为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．直线

二、填空题

9. 难度：中等

在极坐标系中，点关于直线l：ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为    ．

10. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC=30°，则AD的长为    ．

11. 难度：中等

的二项展开式中第二项的系数是    （用数字作答）．

12. 难度：中等

下列程序，执行后输出的结果是s=    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，AB=3，AC=2，D是BC的中点，则=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2x+），给出下面四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）的图象关于直线x=对称；
④函数f（x）在区间[0，]上是增函数，
其中错误命题的序号是    ．

15. 难度：中等

对于数列{x_n}，如果存在一个正整数m，使得对任意的n（n∈N^*）都有x_m+n=x_n成立，那么就把这样一类数列{x_n}称作周期为m的周期数列，m的最小正值称作数列{x_n}的最小正周期，以下简称周期．例如当x_n=2时，{x_n}是周期为1的周期数列；当时，{y_n}是周期为4的周期数列．设数列{a_n}满足0．
（1）若数列{a_n}是周期为3的周期数列，则常数λ的值是    ；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若λ=1，则S₂₀₁₂=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的面积为3，且满足0≤≤6，设和的夹角为θ．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（θ）=2sin²的最大值与最小值．

17. 难度：中等

2012年4月15日，央视《每周质量报告》曝光某省一些厂商用生石灰处理皮革废料，熬制成工业明胶，卖给一些药用胶囊生产企业，由于皮革在工业加工时，要使用含铬的鞣制剂，因此这样制成的胶囊，往往重金属铬超标，严重危害服用者的身体健康．该事件报道后，某市药监局立即成立调查组，要求所有的药用胶囊在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，两轮检测是否合格相互没有影响．
（1）某药用胶囊共生产3个不同批次，经检测发现有2个批次为合格，另1个批次为不合格，现随机抽取该药用胶囊5件，求恰有2件不能销售的概率；
（2）若对某药用胶囊的3个不同批次分别进行两轮检测，药品合格的概率如下表：

	第1批次	第2批次	第3批次
第一轮检测
第二轮检测

记该药用胶囊能通过检测进行销售的批次数为X，求X的分布列及数学期望EX．

18. 难度：中等

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为m，渠深为6m．
（1）若渠中水深为m，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；
（2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．

20. 难度：中等

已知椭圆E₁： E₂：．E₁与E₂有相同的离心率，过点F（）的直线l与E₁，E₂依次交于A，C，D，B四点（如图）．当直线l过E₂的上顶点时，直线l的倾斜角为．
（1）求椭圆E₂的方程；
（2）求证：|AC|=|DB|；
（3）若|AC|=1，求直线l的方程．

21. 难度：中等

设函数y=f（x）对任意的实数x，都有，且当x∈[0，1]时，f（x）=27x²（1-x）．
（1）若x∈[1，2]时，求y=f（x）的解析式；
（2）对于函数y=f（x）（x∈[0，+∞）），试问：在它的图象上是否存在点P，使得函数在点P处的切线与 x+y=0平行．若存在，那么这样的点P有几个；若不存在，说明理由．
（3）已知 n∈N^*，且 x_n∈x[n，n+1]，记 S_n=f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n），求证：0≤S_n＜4．