2012-2013学年北京市东城区普通校高三（上）11月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={x|x＜3}，A={x|x＜1}，则C_UA=（ ）
A．{x|1≤x＜3}
B．{x|1＜x≤3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|x≥1}

2. 难度：中等

下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=sin
B．y=-x²
C．y=log₃
D．y=（）^x

3. 难度：中等

设f（x）=，则f[f（-3）]等于（ ）
A．3
B．-3
C．
D．-1

4. 难度：中等

已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

“a=3”是“函数f（x）=x²-2ax+2在区间[3，+∞）内单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

函数f（x）=e^x+x-2的零点所在的一个区间是（ ）
A．（-2，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，2）

7. 难度：中等

将函数y=cos2x的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）
A．y=-sin2
B．y=-cos2
C．y=2sin²
D．y=-2cos²

8. 难度：中等

某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ ）年后需要更新设备．
A．10
B．11
C．13
D．21

二、填空题

9. 难度：中等

已知sinα，，则tanα=    ．

10. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N₊），则a₃=    ；前5项的和S₅=    ．

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+4）=f（x），当1≤x≤2时，f（x）=x-2，则f（6.5）    ．

12. 难度：中等

设a=log2，b=log₂3，c=（）^0.3，则a、b、c从小到大的顺序是    ．

13. 难度：中等

已知命题P：∃x₁∈R，ax₁²．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．若g（x）=x+m+lnx的保值区间是[e，+∞），则m的值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
（Ⅰ） 确定角C的大小；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a²+b²的值．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x．
（Ⅰ）若角α的终边与单位圆交于点P（），求f（α）的值；
（Ⅱ）若，求f（x）最小正周期和值域．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n 及S_n；
（Ⅱ）若f（x）=，b_n=f（a_n）（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（其中a＞0，且a≠1）
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；
（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

19. 难度：中等

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若a≠0 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a²+1恒成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，点（S_n，S_n+1）在直线（n∈N*）上．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设，求证：．