2012-2013学年福建省莆田二中高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A（-1，-2，1），B（1，2，-1），O为坐标原点，则向量与的夹角是（ ）
A．0
B．
C．
D．π

2. 难度：中等

椭圆方程为4x²+y²=1，则该椭圆的长轴长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

3. 难度：中等

已知对任意x∈R，恒有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（ ）
A．f′（x）＞0，g′（x）＞0
B．f′（x）＞0，g′（x）＜0
C．f′（x）＜0，g′（x）＞0
D．f′（x）＜0，g′（x）＜0

4. 难度：中等

已知，，则函数f（x）=的单调递减区间是（ ）
A．（1，+∞）
B．（0，+∞）
C．（-∞，-1）和（0，1）
D．（-∞，0）和（0，1）

5. 难度：中等

设椭圆的两个焦点分别为F₁、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是y=2x，它的一个焦点在抛物线y²=20x的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，则点C到平面PBD的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1

9. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=1，M、N分别在AD₁，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC₁D₁，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）在（-1，0）上恰有一个零点
B．f（x）在（0，1）上恰有一个零点
C．f（x）在（-1，0）上恰有两个零点
D．f（x）在（0，1）上恰有两个零点

二、填空题

11. 难度：中等

函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为y=ex-e，则f′（1）=    ．

12. 难度：中等

设椭圆和双曲线的公共焦点分别为F₁、F₂，P为这两条曲线的一个交点，则=    ．

13. 难度：中等

已知等边△ABC与正方形ABDE构成一个直二面角，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

已知两定点M（-2，0），N（2，0），若直线上存在点P，使得|PM|-|PN|=2，则该直线为“给力直线”，给出下列直线，其中是“给力直线”的是    （将正确的序号标上）
①y=x+1 ②y=- ③x=-2 ④y=-2x+3．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（x∈R），f′（0）=6设F（x）=f（x）-f′（x）若F（0）=0，F（1）=-11．
（1）求b、c、d的值．
（2）求F（x）的单调区间与极值．

17. 难度：中等

在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点．
（I）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角．

18. 难度：中等

已知一条不在y轴左侧的曲线E上的每个点到A（1，0）的距离减去它到y轴的距离差都是1．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知曲线E的一条焦点弦被焦点分成长为m、n两部分，试判断是否为定值，若是求出定值并加以证明，若不是，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AA₁==3，AB=2，BC=1．
（1）证明：BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）D为CC₁中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁，证明你的结论．
（3）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值的大小．

20. 难度：中等

已知焦点在y轴上的椭圆C₁：=1经过A（1，0）点，且离心率为．
（I）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）过抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上P点的切线与椭圆C₁交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．

21. 难度：中等

设，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．