2012-2013学年广东省广州六中高一（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线l₁的倾斜角的正切值为-，直线l₂与l₁垂直，则l₂的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

函数f（x）=2^x+x³-2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：
（1）α∥β⇒l⊥m，（2）α⊥β⇒l∥m，
（3）l∥m⇒α⊥β，（4）l⊥m⇒α∥β，
其中正确命题是（ ）
A．（1）与（2）
B．（1）与（3）
C．（2）与（4）
D．（3）与（4）

4. 难度：中等

已知集合A={x∈R||x+2|＜3}集合B={x∈R|（x-m）（x-2）＜0}，且A∩B=（-1，n），则m，n的值为（ ）
A．-1，1
B．1，-1
C．-1，2
D．1，2

5. 难度：中等

圆（x-3）²+（y+4）²=1关于直线y=-x+6对称的圆的方程是（ ）
A．（x+10）²+（y+3）²=1
B．（x-10）²+（y-3）²=1
C．（x-3）²+（y+10）²=1
D．（x-3）²+（y-10）²=1

6. 难度：中等

已知函数，给定区间E，对任意x₁，x₂∈E，当x₁＜x₂时，总有f（x₁）＞f（x₂），则下列区间可作为E的是（ ）
A．（-3，-1）
B．（-1，0）
C．（1，2）
D．（3，6）

7. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）

A．60+12
B．56+12
C．30+6
D．28+6

8. 难度：中等

设函数f（x）=，g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则下列判断正确的是（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0

二、填空题

9. 难度：中等

已知点B是点A（2，-3，5）关于平面xOy的对称点，则AB=    ．

10. 难度：中等

如图所示，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为    ．

11. 难度：中等

已知直线l经过点（7，1）且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程    ．

12. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为线段AA₁，B₁C上的点，则三棱锥D₁-EDF的体积为    ．

13. 难度：中等

从直线x-y+3=0上的点向圆x²+y²-4x-4y+7=0引切线，则切线长的最小值为    ．

14. 难度：中等

已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

平行四边形的两邻边所在直线的方程为x+y+1=0及3x-4=0，其对角线的交点是D（3，3），求另两边所在的直线的方程．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．

17. 难度：中等

某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．
为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．
（1）求函数y=f（x）的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．

19. 难度：中等

已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M₁（26，1），M₂（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（-2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

20. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=a^x-1，其中a＞0且a≠1，
（1）求f（2）+f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解关于x的不等式-1＜f（x-1）＜4，结果用集合或区间表示．