2012-2013学年安徽省皖南八校高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等于（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．1-i
D．-1-i

2. 难度：中等

已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x＜y，x+y∈A}，则集合B中的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

3. 难度：中等

已知各项均为正数的等差数列{a_n}中，a₂•a₁₂=49，则a₇的最小值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

4. 难度：中等

已知某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S²，则（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形不能（ ）
A．都是直线
B．都是平面
C．x，y是直线，z是平面
D．x，z是平面，y是直线

6. 难度：中等

“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为（ ）
A．18
B．24
C．27
D．36

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是（ ）

A．（42，56]
B．（56，72]
C．（72，90]
D．（42，90）

8. 难度：中等

设命题p：（x，y，k∈R，且k＞0）命题q：（x-3）²+y²≤25（x，y∈R），若P是q的充分不必要条件，则k的取值范围是（ ）
A．（0，3]
B．（0，6]
C．（0，5]
D．[1，6]

9. 难度：中等

过双曲线的左焦点F作直线交双曲线的两条渐近线与A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=1+x-，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x²+y²=b-a的面积的最小值是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π

二、填空题

11. 难度：中等

展开式中不含x³项的系数的和为    ．

12. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是    ．

13. 难度：中等

设非零向量、，，满足||=||=||，+=，则sin＜，＞=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的图象关于直线x=对称，点（）是函数图象的一个对称中心，则a+ω的最小值是    ．

15. 难度：中等

若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，都存在唯一的x₂，使y=f（x₁）f（x₂）=1成立，则 称此函数为“滨湖函数”．下列命题正确的是    ．（把你认为正确的序号都填上）
①y=是“滨湖函数”；
②y=+sinx（x∈[]）I是“滨湖函数”；
③y=2^x是“滨湖函数”；
④y=lnx是“滨湖函数”；
⑤y=f（x），y=g（x）都是“滨湖函数”，且定义域相同，则y=f（x）g（x）是“滨湖函数”

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．

17. 难度：中等

如图，已知平行四边形ABCD中，AD=2，CD=，∠ADC=45°，AE⊥BC，垂足为E，沿直线AE将△BAE翻折成△B′AE，使得平面B′AE⊥平面AECD．连接B′D，P是B′D上的点．
（Ⅰ）当B′P=PD时，求证：CP⊥平面AB′D；
（Ⅱ）当B′P=2PD时，求二面角P-AC-D的余弦值．

18. 难度：中等

某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是．
（1）求该人获得奖金的概率；
（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

已知抛物线P的方程是x²=4y，过直线l：y=-1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C．
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）证明：直线BC过定点，并求出定点坐标．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a使f（x）＜1在x∈R⁺上恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．

21. 难度：中等

已知正项数列{a_n}中a₁=1，前n项和S_n满足2S_n=a_na_n+1；数列{b_n}是首项和公比都等于2的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和
（3）记f（n）=，T_n=，求证：．