2011-2012学年湖南省衡阳市六校高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若，则的值是（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2

2. 难度：中等

已知全集U=R，且A={x||x-1|＞2}，B={x|x²-6x+8＜0}，则（C_UA）∩B等于（ ）
A．（2，3）
B．[2，3]
C．（2，3]
D．（-2，3]

3. 难度：中等

已知命题p：，则命题p的否定¬p是 （ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称．则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（ ）
A．y=sin（+）
B．y=sin（2x+）
C．y=sin|x|
D．y=sin（2x-）

5. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前项和为S_n，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP不过点O），则S₂₀等于（ ）
A．15
B．10
C．40
D．20

6. 难度：中等

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log（x+1），则f（-2001）+f（2012）（ ）
A．1+log₂3
B．-1+log₂3
C．-1
D．1

7. 难度：中等

实数x，y满足条件，则该目标函数z=3x+y的最大值为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．15

8. 难度：中等

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b∈[a，b]，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（ ）
A．[0，+∞）
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为    ．

10. 难度：中等

如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，且，则AC的长为    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a+b|+|a-b|≥|a|•f（x）成立，则实数x的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知sin（=，且α是第二象限角，则sin2α=    ．

13. 难度：中等

一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是    ．

14. 难度：中等

在一个数列中，如果∀n∈N°，都有a_na_n+1a_n+2=k（k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列a_n是等积数列，且a₁=1，a₂=2，公积为8，则a₁+a₂+a₃+…+a₁₂=    ．

15. 难度：中等

若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足=+，则=    ．

16. 难度：中等

当n∈N⁺时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，记S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+…+N（2ⁿ-1）（n∈R⁺）则：（1）S（3）=    ；（2）S（n）=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知向量=（sin，1），=（cos，cos²），函数f（x）=．
（1）若f（x）=1，求cos（-x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC+c=b，求f（B）的取值范围．

18. 难度：中等

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足条件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判断数列{a_n+1}是否为等比数列；
（Ⅱ）若．
证明：
（i）；
（ii）T_n＜1．

20. 难度：中等

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

函数的反函数为f^-1（x），数列{a_n}和{b_n}满足：，a_n+1=f^-1（a_n），函数y=f^-1（x）的图象在点（n，f^-1（n））（n∈N^*）处的切线在y轴上的截距为b_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列；的项中仅最小，求λ的取值范围；
（3）令函数，0＜x＜1．数列{x_n}满足：，0＜x_n＜1且x_n+1=g（x_n），（其中n∈N^*）．证明：．